Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

dafür aber die 13 (13   ×   24   =   312).

    7 und 11 sind Teiler, aber nicht 13.

    22221111 ist durch 11, jedoch nicht durch 7 und 13 teilbar.
    Aufgabe 14   **  
    m und n sind natürliche Zahlen. Zeigen Sie: Wenn 100m   +   n durch 7 teilbar ist, dann ist auch m   +   4n durch 7 teilbar.
    Wir schreiben 100m   +   n   =   7k (k   =   natürliche Zahl). Das stellen wir nach n um, n   =   7k   –   100m und setzen es in den Ausdruck m   +   4n ein:

    Sowohl 28 (7   ×   4) als auch 399 (7   ×   57) sind Vielfache von 7, also ist auch m   +   4n durch 7 teilbar.
    Aufgabe 15   ****  
    Finden Sie die kleinste Primzahl, die beim Teilen durch 5, 7 und 11 jeweils den Rest 1 lässt!
    Weil 5, 7 und 11 teilerfremd sind, muss die Primzahl die Form p   =   5   ×   7   ×   11   ×   n   +   1   =   385n   +   1 haben (n   =   natürliche Zahl). Außerdem lässt sich jede Primzahl größer als 3 in der Form 6m   +   1 oder 6m   +   5 schreiben (m   =   natürliche Zahl). Nehmen wir zunächst an, die Primzahl hat die Form 6m   +   5. Es gilt

    Weil 385 ungerade ist, 6m   +   4 aber gerade, muss n eine gerade Zahl sein.

    Nun zum Fall Primzahl   =   6m   +   1:

    Auch in diesem Fall muss n eine gerade Zahl sein. Wir setzen also n   =   2k (k = natürliche Zahl), die gesuchte Primzahl hat die Form 385   ×   2   k   +   1 = 770   ×   k   +   1. Nun probieren wir einfach aus, ob wir eine Primzahl finden, und setzen k   =   1, 2, 3, 4, 5 ein. Wir erhalten 771, 1541, 2311, 3081 und 3851. 771 und 1541 sind keine Primzahlen, aber 2311 ist eine. Sie ist deshalb die gesuchte kleinste Primzahl, die beim Teilen durch 5, 7 und 11 jeweils den Rest 1 lässt.
    Aufgabe 16   *  
    Ein Clown hat Schnürsenkel und Krawatten in den Farben Gelb, Orange, Grün, Blau und Lila. Er möchte, dass die beiden Schnürsenkel verschiedenfarbig sind und auch die Krawatte eine andere Farbe hat als die Schnürsenkel. Wie viele Farbvarianten sind insgesamt möglich? Ein Tausch der Schnürsenkel von links nach rechts und umgekehrt soll als neue Farbvariante gelten.
    Es sind 5 Farben. Für den ersten Schnürsenkel gibt es also 5 Varianten, für den zweiten Schnürsenkel noch 4 und für die Krawatte 3. Es gibt daher 5   ×   4   ×   3   =   60 Möglichkeiten.
    Aufgabe 17   *  
    a und b sind rationale Zahlen, beide sind größer als 2. Zeigen Sie, dass dann gilt ab >   a   +   b !
    Wir schreiben a in der Form a   =   2   +   s (s   >   0) und b   =   2   +   t (t   >   0). ab ist dann (2   +   s)   (2   +   t)    =   4   +   2s   +   2t   +   st. Für a   +   b erhalten wir 4   +   s   +   t. Daraus folgt sofort ab   >   a   +   b.
    Aufgabe 18   **  
    Sie haben einen Schuh mit 6 Lochpaaren. Der Abstand von Lochpaar zu Lochpaar beträgt 1 Zentimeter, der Abstand der linken zur rechten Lochreihe 2 Zentimeter. Sie wollen den Schuh klassisch über Kreuz schnüren. Wenn die beiden Enden des Schnürsenkels aus dem obersten Lochpaar mit je 15 Zentimetern herausragen sollen, wie lang muss dann der Schnürsenkel insgesamt sein?
    Die Verbindung der beiden Löcher des untersten Lochpaares misst 2 Zentimeter. Dazu kommen wegen der insgesamt 6 Lochpaare genau 10 diagonale Verbindungen von einem Loch zum nächsthöheren Loch auf der gegenüberliegenden Seite.
        
    Eine solche Diagonale hat nach dem Satz des Pythagoras die Länge . Die beiden offenen Enden messen zusammen 30 Zentimeter. Der Schnürsenkel ist deshalb cm lang.
    Aufgabe 19   ***  
    Die Abbildung zeigt 16 von insgesamt 42 Schnürvarianten, die bei 3 Lochpaaren möglich sind. Finden Sie die übrigen 26, die sich durch Spiegelung oder Drehung aus diesen 16 Varianten ergeben.
              
    Quelle: Polster

    Aus den 8 Varianten in der zweiten und dritten Reihe von oben ergeben sich durch einfache Spiegelung 8 weitere Varianten. Aus den 6 Schnürungen in der unteren Reihe kann man je 3 weitere konstruieren, also insgesamt 18.

    Aufgabe 20   ***  
    Gibt es ein Vieleck, das dreimal so viele Diagonalen hat wie Ecken?
    Eine Diagonale ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit einem anderen Eckpunkt verbindet. Die Verbindungen zu den beiden benachbarten links und rechts liegenden Punkten sind Seiten des Vielecks und keine Diagonalen. Von jedem der n Punkte eines n-Ecks gehen deshalb n   –   3 Diagonalen aus – die beiden Nachbarpunkte und den Punkt selbst müssen wir von n abziehen.