Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

und zwar (a   –   1)   ×   10 n   +   1 . Fassen wir zusammen: Das Ergebnis hat n   +   2 Stellen. Die erste ist a   –   1, dann folgen n Neunen und schließlich der Einer 10   –   a. Weil a   –   1 und 10   –   a genau Zehner und Einer des Produkts 9a sind, haben wir den Rechentrick somit bewiesen.
    Aufgabe 6   *  
    Die Seite eines Rechtecks wird um 50 Prozent verlängert. Um welche Prozentzahl müssen Sie die andere Seite verkürzen, damit sich die Fläche des Rechtecks nicht ändert?
    Für die Fläche des Rechtecks gilt die Formel A   =   a   ×   b. Wenn wir a um 50 Prozent verlängern, ist die Seite 1,5   ×   a lang. b muss dann auf die Länge b/1,5 verkürzt werden, damit die Fläche unverändert bleibt. Ihre Länge ist 66,7 Prozent der ursprünglichen Länge, also wird sie um 33,3 Prozent oder 1/3 gekürzt.
    Aufgabe 7   **  
    Wie groß ist der Innenwinkel in einem regelmäßigen n-Eck?
    Wenn wir den Mittelpunkt des n-Ecks mit jedem seiner n Ecken verbinden, erhalten wir n gleichschenklige Dreiecke. Der Winkel in der Spitze ist 360°/n. Die beiden gleich großen Winkel an der Basis jedes dieser gleichschenkligen Dreiecke sind zusammen so groß wie der gesuchte Innenwinkel. Weil die Winkel im Dreieck zusammen 180° ergeben, ist der Innenwinkel im regelmäßigen n-Eck 180°–360°/n groß.
    Aufgabe 8   **  
    Die Zeiger der Uhr zeigen die Zeit 16.20 Uhr an. Wie groß ist der Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger in diesem Moment?
    In 20 Minuten schafft der große Zeiger ein Drittel der 360-Grad-Runde, also steht er beim Winkel von 120 Grad. Der kleine Zeiger schafft pro Stunde ein Zwölftel der Runde, pro Stunde sind das 30 Grad. Um 16 Uhr hat er seit 12 Uhr 120 Grad zurückgelegt, bis 16.20 Uhr kommt noch ein Drittel von 30 Grad hinzu   =   10 Grad. 130   –   120   =   10 Grad – das ist der gesuchte Winkel.
    Aufgabe 9   ***  
    Über jeder Seite eines Quadrats wird nach außen ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert. Die Fläche jedes dieser Dreiecke soll genauso groß sein wie die Fläche des Quadrats. Wie groß ist der Abstand von zwei gegenüberliegenden Spitzen des vierzackigen Sterns?
    Das Quadrat hat die Seitenlänge a und die Fläche a 2 . Die Fläche des konstruierten Dreiecks mit der Höhe h beträgt ah/2. Also muss h   =   2a sein. Der Abstand zweier gegenüberliegender Spitzen ist deshalb 5a.
          
    Aufgabe 10   ****  
    Gegeben ist ein Winkel mit der Größe von 63 Grad. Dritteln Sie diesen Winkel allein mithilfe von Zirkel und Lineal. Sie dürfen das Papier nicht falten.
    Wir konstruieren im Scheitelpunkt des gegebenen Winkels ein gleichseitiges Dreieck, sodass ein Eckpunkt des Dreiecks mit dem Scheitelpunkt zusammenfällt und eine Seite auf dem Schenkel des Winkels liegt. Der Winkel im gleichseitigen Dreieck ist 60 Grad groß, der Winkel zwischen der Dreiecksseite und dem zweiten Schenkel des zu drittelnden Winkels beträgt dann 63   –   60   =   3 Grad.
          
    Diese 3 Grad tragen wir noch zweimal außen an den Schenkel an und erhalten somit einen Gesamtwinkel von 63   +   2   ×   3   =   69 Grad. Die Differenz zu 90 Grad ist genau die gesuchte Winkelgröße von 21 Grad. Wir müssen also nur noch die Senkrechte über dem unteren Schenkel durch den Scheitelpunkt des Winkels errichten und sind fertig.
    Aufgabe 11   *  
    Woran erkennen Sie, ob eine Zahl durch 16 teilbar ist?
    Ich brauche nur die letzten vier Stellen anzuschauen, denn 10.000 und damit auch alle Vielfachen davon sind immer durch 16 teilbar (10.000   =   16   ×   625).
    Aufgabe 12   **  
    Welche der folgenden Zahlen ist durch 55 teilbar?
    3938
    2512895
    4541680

    3938 endet nicht auf 5 und kann deshalb nicht durch 55   =   5   ×   11 teilbar sein.

    2512895 ist durch 5 teilbar und durch 11, denn die alternierende Quersumme 2   –   5   +   1   –   2   +   8   –   9   +   5 ist 0. Damit ist die Zahl auch durch 55 teilbar.

    4541680 ist durch 5 teilbar und durch 11 (alternierende Quersumme   =   4   –   5   +   4   –   1   +   6   –   8   +   0   =   0), damit auch durch 55.
    Aufgabe 13   **  
    Ist eine der folgenden Zahlen durch 7, 11 oder 13 teilbar?
    15575
    258262
    24336
    65912
    22221111

    Zur Lösung nutzen wir die 1001-Methode.

    560 ist durch 7 teilbar (7   ×   80   =   560), aber weder durch 11 noch durch 13.

    258262 ist kein Vielfaches von 7, 11 und 13.

    7 und 11 sind keine Teiler,