Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

nach rechts.
    Aufgabe 29   ****  
    Beweisen Sie die Trachtenberg-Regel für die Multiplikation mit 9. Rechts: Ziffer von 10 abziehen. Mitte: Ziffer von 9 abziehen plus Nachbar. Links: Nachbar minus 1.
    Wir schreiben 9   =   10   –   1 und setzen dies in die Multiplikation mit der vierstelligen Zahl abcd ein:

    Wir haben nun ein kleines Problem: In dem Produkt dürfen keine negativen Ziffern auftauchen, der Einer beispielsweise kann unmöglich –d lauten. Wenn a   >   b ist, wäre auch die Tausenderstelle des Ergebnisses negativ. Wir lösen das Problem, indem wir uns jeweils eine Position weiter links eine 1 borgen, die dann bei der Position rechts daneben zu einer 10 wird. Aus der 10d ganz rechts wird so 10(d   –   1), und die dort weggenommene 10 schreiben wir vor –d (untere Zeile rechts) – aus 10d   –   d wird 10(d   –   1)   +   10   –   d! Genauso formen wir die übrigen Terme um:

    Wir sind so gut wie fertig – wir müssen nur noch die Faktoren vor den Zehnerpotenzen zusammenfassen:

    Sie sehen: Die Trachtenberg-Methode basiert letztlich darauf, dass man Zahlen geschickt zerlegt und neu zusammenfasst.
    Aufgabe 30   ****  
    Beweisen Sie die Trachtenberg-Regel für Multiplikationen mit 8. Sie lautet: Rechts: Ziffer von 10 abziehen und verdoppeln.
Mitte: Ziffer von 9 abziehen und verdoppeln plus Nachbar.
Links: Nachbar minus 2.
    Wir schreiben 8   =   10   –   2 und setzen dies in die Multiplikation mit der vierstelligen Zahl abcd ein:

    Wir haben nun das gleiche Problem wie bei der 9 (Aufgabe 29): Negative Ziffern sind nicht erlaubt, der Einer beispielsweise kann unmöglich –2d lauten. Wir lösen das Problem, indem wir uns jeweils eine Position weiter links eine 2 borgen, die dann bei der Position rechts daneben zu einer 20 wird. Aus der 10d ganz rechts wird so 10   (d   –   2) und die dort weggenommene 20 schreiben wir vor –   2d (untere Zeile). Genauso formen wir die übrigen Terme um:

    Wir fassen die Faktoren vor den Zehnerpotenzen zusammen und sind fertig:

    Aufgabe 31   **  
    Mit folgender Rechnung können Sie den Geburtstag einer Person herausfinden. Sie soll die Tageszahl ihres Geburtstages verdoppeln, 5 addieren und das Ergebnis mal 50 nehmen. Dazu muss sie dann die Monatszahl des Geburtstags addieren. Wenn Ihnen Ihr Gegenüber das Ergebnis der Rechnung nennt, können Sie sofort sagen, an welchem Tag und in welchem Monat dieser Geburtstag hat. Wie stellen Sie das an?
    Wenn a, b, c und d einstellige natürliche Zahlen sind, dann lautet der Geburtstag 10a   +   b (Tageszahl) und 10c   +   d (Monatszahl). Wir rechnen:

    Wenn wir davon 250 abziehen, erhalten wir eine höchstens vierstellige Zahl, bei der die ersten zwei Ziffern die Tageszahl und die letzten beiden die Monatszahl des Geburtstages sind.
    Aufgabe 32   **  
    Sie denken sich eine Zahl aus, multiplizieren sie mit 37, addieren 17, multiplizieren das Ergebnis mit 27, addieren 7 und dividieren das Ergebnis durch 999. Als Rest der Division erhalten Sie immer 466. Warum?
          
    Aufgabe 33   **  
    Denken Sie sich drei verschiedene Ziffern aus. Addieren Sie alle sechs zweistelligen Zahlen, die Sie aus je zwei der gewählten Ziffern bilden können. Das Ergebnis teilen Sie durch die Summe der drei gewählten Zahlen. Zeigen Sie, dass dabei stets 22 herauskommt.
    Die Ziffern sind a, b, c. Dann gibt es die sechs Zahlen ab, ac, ba, bc, ca, cb. Ihre Summe lautet 10   ×   (2a   +   2b   +   2c)   +   2a   +   2b   +   2c   =   22(a   +   b   +   c). Die Summe geteilt durch a   +   b   +   c ergibt 22.
    Aufgabe 34   **  
    Denken Sie sich zwei beliebige dreistellige Zahlen aus. Daraus bilden Sie zwei sechsstellige Zahlen, indem Sie die erste einmal vor die zweite und einmal dahinter schreiben. Berechnen Sie die Differenz beider Zahlen und teilen Sie das Ergebnis durch die Differenz der dreistelligen Ausgangszahlen. Heraus kommt immer 999. Warum?
    Die beiden dreistelligen Zahlen sind a und b, wobei a   >   b ist. Die beiden sechsstelligen Zahlen lauten dann 1000a   +   b und 1000b   +   a. Ihre Differenz ist 999a    –   999b. Wenn wir diese Zahl durch a   –   b teilen, ergibt sich 999.
    Aufgabe 35   ****  
    Zwölf Kinder haben alle im selben Jahr Geburtstag, aber jedes in einem anderen Monat. Jedes Kind hat die Tageszahl mit der Monatszahl seines Geburtstags multipliziert. Beispiel: Wäre der Geburtstag der 8. April, käme als Produkt 8   ×   4   =