Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

behandelt; die Dreidimensionalität kommt erst ins Spiel, wenn Sie einige Erfahrung gesammelt haben.
    Wenn man sich erst einmal in die Gedankenwelt der Quantenphysik eingearbeitet hat (und Sie sind in diesem Kapitel schon mitten drin), erkennt man, welche Möglichkeiten die Mathematik bietet, um Aufgaben einfach zu lösen. Dazu gehört auch die Verwendung von Leiteroperatoren, die in Kapitel 5 eingeführt werden, und die Ihnen noch sehr viel Arbeit abnehmen werden.
    Wie Sie bereits wissen, kann man den Zustand eines Systems mithilfe unterschiedlicher mathematischer Methoden untersuchen. Das bietet Ihnen vor allem den Vorteil, dass Sie immer auf die anschauliche Form der Wellendarstellung zurückgreifen können, wenn Ihnen der Umgang mit Zustandsvektoren am Anfang noch zu abstrakt ist.
    Die folgende Anleitung soll Ihnen zeigen, wie man im Allgemeinen an ein quantenmechanisches Problem herangeht und welche Schritte man machen muss, um zu einer Lösung zu kommen:
    1. Die Schrödinger-Gleichung aufstellen.
Die allgemeine Form der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in einer Dimension lautet:
    2. Den Hamilton-Operator bestimmen.
Wie Sie wissen, beschreibt der Hamilton-Operator die Gesamtenergie eines quantenmechanischen Systems. Somit enthält er immer einen Term, der die kinetische Energie der Teilchen beschreibt; bei Anwesenheit eines äußeren Potentials gibt es einen zusätzlichen Term, der die potentielle Energie beschreibt. Das bedeutet, dass Sie zunächst untersuchen müssen, ob ein Potential V (x) vorhanden ist und, wenn dies der Fall ist, in welcher Form man dieses Potential darstellen kann. Im Fall des quantenmechanischen harmonischen Oszillators (der in Kapitel 5 ausführlich dargestellt wird) enthält die Schrödinger-Gleichung beispielsweise neben dem Ausdruck für die kinetische Energie einen weiteren Term, der das quadratische Potential des harmonischen Oszillators beschreibt:
    3. Randbedingungen aus der Aufgabenstellung ablesen.
Die Randbedingungen hängen immer von der jeweiligen Aufgabenstellung ab. Da sie bei der Lösung des jeweiligen Problem eine wichtige Rolle spielen, sollten Sie diese vor Beginn der Rechnung aus der Aufgabe ablesen und notieren.
Man betrachtet beispielsweise häufig Potentiale, die in verschiedene Regionen zerfallen, innerhalb derer sie relativ konstant sind, wobei der Übergang von einem Bereich zum anderen innerhalb einer sehr kurzen Distanz erfolgt. Da ψ ( x ) und seine Ableitung ψ ′ ( x ), auch wenn das Potential nur stückweise stetig ist, stetige Funktionen sein müssen (auf die mathematische Argumentation wird an dieser Stelle verzichtet), kann man daraus die Rand - oder Anschlußbedingungen ableiten. Liegt die Sprungstelle zwischen den Bereichen I und II zum Beispiel bei a , so kann man die Randbedingung folgendermaßen formulieren
    4. Die Funktion bestimmen, die diese Gleichung unter diesen Randbedingungen erfüllt.
In diesem Schritt müssen Sie die Schrödinger-Gleichung, also eine Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen. Das kann sehr einfach sein, wie sich bei der Behandlung von Potentialtöpfen zeigen wird; das kann aber auch sehr viel aufwendiger sein. Und aus genau diesem Grund wurde dieses Buch geschrieben: In den folgenden Kapitel wird anhand zahlreicher quantenmechanischer Aufgabenstellungen erläutert, auf welchem Wege man jeweils zum Ziel gelangt.
    5. Normierung
Wie bereits in dem Abschnitt »Zustände und Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik« erläutert wurde, muss sicher gestellt werden, dass sich die Wahrscheinlichkeiten |ψ(x)| 2 dx, ein Teilchen zwischen x und dx zu finden, zu 1 summieren, wenn man über den gesamten betrachteten Bereich, beispielsweise von x = 0 bis x = a, integriert. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:

Diese Bedingung kann beispielsweise bei der Berechnung von unbekannten Konstanten innerhalb einer Wellenfunktion ein sehr nützliches Hilfsmittel sein.
    6. Eigenwerte bestimmen
Nachdem man die Wellenfunktion bestimmt und geeignet normiert hat, löst man die Schrödinger-Gleichung in Bezug auf die Eigenwerte. Da dies ein sehr wichtiger Bestandteil der Beschreibung von quantenmechanischen Systemen ist und somit einen Schwerpunkt dieses Buches bildet, möchte ich an dieser Stelle nur darauf hinweisen, dass Sie in den folgenden Kapiteln ausreichend Gelegenheit haben werden, um Erfahrung mit der Lösung von Eigenwertproblemen zu sammeln.
    Diese Anleitung kann Ihnen nur einen Leitfaden zur Lösung von Problemen