Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Zentralpotentialen untersucht, das heißt, in einem Potential das nur vom Abstand r des Teilchens vom Kraftzentrum, nicht aber von der Richtung des Vektors r abhängt, der vom Zentrum zum Teilchen weist (siehe Abbildung 2.2 rechts). Da dieses Potential Drehsymmetrie besitzt, ist es sinnvoll, zu Kugelkoordinaten überzugehen. Dann kann man die Wellenfunktion ψ ( r ) = ψ (r, θ, φ) vollständig separieren, so dass man eine Radialgleichung und einen winkelabhängigen Teil erhält. Die Wellenfunktion lautet in diesem Fall:

    Dabei ist die Radialgleichung eine Differentialgleichung, die nur von r abhängt und sich somit mathematisch lösen lässt.
    Bei der Untersuchung des sphärisch symmetrischen Kastenpotentials am Ende von Kapitel 9 wird schließlich dargestellt, wie man die Radialgleichung mithilfe von Funktionen löst, die aus der Mathematik wohlbekannt sind.
    Das Wasserstoffatom ist das einfachste Atom des Periodensystems. Es besteht aus einem Proton und einem Elektron, die sich gegenseitig umkreisen. Es gehört zu den größten Leistungen der Quantenmechanik, dass sie in der Lage ist, dieses System vollständig bis in die letzten Einzelheiten zu beschreiben. Es muss an dieser Stelle aber auch gesagt werden, dass das Wasserstoffatom in dieser Beziehung eine Ausnahme bildet. Alle anderen Atome sind zu komplex, als dass sie vollständig beschrieben werden könnten. Dennoch liefert die vollständige quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms den Schlüssel zum Verständnis des Aufbaus und der Eigenschaften aller Atome, inklusive einer Erklärung des Periodensystems der Elemente.
    Wenn Sie die Bewegung eines Elektrons um ein Proton betrachten, das sich auf einer Bahn mit dem Radius r p um den Schwerpunkt der Massen bewegt, so haben Sie es mit zwei sich bewegenden Körpern zu tun; dies macht die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom zunächst einmal sehr kompliziert. Sie lautet:

    Dabei beschreiben die beiden ersten Terme die kinetischen Energien der beiden Teilchen, der dritte die elektrostatische Wechselwirkung zwischen ihnen.
    Wenn man nun annimmt, das sich das Proton in Ruhe befindet und somit r p = 0 ist, so vereinfacht sich das Problem erheblich. In diesem Fall ist die Gleichung zwar nicht mehr exakt, aber sie bietet den Vorteil, dass sie so sehr viel leichter zu lösen ist und immer noch eine Fülle von neuen Informationen liefert. Die Schrödinger-Gleichung lautet jetzt:

    Da das Potential hier nur vom Relativabstand abhängt, führt man Relativ- und Schwerpunktskoordinaten ein sowie die reduzierte Masse m = m e m p /( m e + m p ) und die Gesamtmasse M = m e + m p . Als Folge erhält man zwei Schrödinger-Gleichungen, die man unabhängig voneinander lösen kann.
    Bei dieser Lösung werden Sie sehen, dass sich die Wellenfunktion wiederum in einen radialen und einen winkelabhängigen Teil aufspalten lässt. Die Untersuchung dieser Komponenten erfolgt schließlich mithilfe des mathematischen Weges, den Sie bereits in Kapitel 9 bei der Untersuchung von Zentralpotentialen kennen gelernt haben. Darüber hinaus werden Sie in diesem Kapitel die anschauliche Bedeutung der vier Quantenzahlen kennen lernen, die zur vollständigen Beschreibung des Elektrons in einem Wasserstoffatom notwendig sind.

Teil V: Komplexe Systeme
    Nach der Behandlung des Wasserstoffatoms hört die Quantenmechanik endgültig damit auf, »einfach« zu sein, was aber nicht bedeutet, dass man über komplexere Systeme keine Aussagen machen kann.
    Wenn man es mit mehr als zwei Teilchen oder gar einer Vielzahl von Teilchen zu tun hat, dann ist es unmöglich, exakte Lösungen zu bestimmen, da die Physik und damit vor allem auch die Mathematik beliebig kompliziert wird. Allerdings gibt es verschiedene Möglichkeiten, um auch weiterhin wichtige Erkenntnisse zu gewinnen. Man betrachtet in diesem Fall Systeme nur unter bestimmten Aspekten und verzichtet auf den Versuch, exakte, vollständige Lösungen zur Beschreibung zu finden. Eine Möglichkeit besteht beispielsweise darin, Teilchen in folgende Gruppen zu unterteilen:
    Unterscheidbare Teilchen
    Identische (ununterscheidbare) Teilchen
    Wenn man ein Viel-Teilchen-System aus unterscheidbaren Teilchen betrachtet, stellt sich zunächst die Frage nach der Wechselwirkung zwischen diesen Teilchen. Kann man diese vernachlässigen, so bedeutet das, dass man ein System aus N wechselwirkungsfreien Teilchen untersucht. In diesem Fall ist die Wellenfunktion das Produkt aus den N