Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Quantenmechanik aber die Regel gilt, dass die zu nicht vertauschbaren Operatoren gehörigen Größen nicht gleichzeitig beobachtbar sind, so können sie auch keine gemeinsamen Eigenzustände haben. Mithilfe weiterer algebraischer Überlegungen lässt sich aber leicht zeigen, dass L 2 , das Quadrat des Drehimpulses, mit den einzelnen Drehimpulskomponenten vertauscht. Es ist üblich, L z , die z-Komponente des Drehimpulses zu wählen, um die Eigenwerte der gemeinsamen Eigenfunktionen mit L 2 zu bestimmen.
    Die weitere Behandlung des Problems erfolgt dann auf die gleiche Weise wie beim harmonischen Oszillator. Man führt Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein, mit deren Hilfe man die Eigenzustände bestimmt. Dabei arbeitet man wieder mit der Dirac-Notation, das heißt, man verwendet die basisunabhängige Darstellung durch Bra- und Ket-Vektoren.
    Im Anschluss an die algebraische Behandlung des Drehimpulses werden die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses bestimmt. Da hier ein enger Zusammenhang mit der Rotation besteht, ist es sinnvoll, zu Kugelkoordinaten überzugehen. In Analogie zum harmonischen Oszillator erhält man auch bei der Behandlung des Drehimpulses eine Differentialgleichung, deren Lösungen bekannte Funktionen der mathematischen Physik sind. Dabei zeigt sich, dass sich als gemeinsame Eigenfunktionen für die Operatoren L 2 und L z des Bahndrehimpulses die Kugelfunktionen ergeben. Ihre Definition und ihre wichtigsten Eigenschaften werden am Ende von Kapitel 6 zusammengestellt.
    Wie der Stern-Gerlach-Versuch zeigt, der zu Beginn von Kapitel 7 vorgestellt wird, besitzt das Elektron einen inneren Drehimpuls, der Spin genannt wird; er kann in einer beliebig vorgegebenen Richtung nur die Werteundannehmen. Wie oben bereits erwähnt wurde, besitzen alle Elementarteilchen einen Spin. Dabei unterscheidet man zwei unterschiedliche Klassen von Teilchen:
    Fermionen: Fermionen haben einen halbzahligen Spin .
    Bosonen: Bosonen haben einen ganzzahligen Spin (einschließlich Null).
    Da der Spin ebenso wie der Bahndrehimpuls ein Drehimpuls ist, gelten die gleichen algebraischen Eigenschaften, und die Spinoperatoren S lassen sich analog zu den Drehimpulsoperatoren L beschreiben.

Teil IV: Die Quantenphysik wird dreidimensional
    Die bisherige Darstellung behandelte insbesondere Teilchen in eindimensionalen Systemen. Dabei bestand die Untersuchung des Systems im wesentlichen in der Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. In der Wellenmechanik ist dies eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Wie in Teil II gezeigt wird, reduziert sie sich für ein eindimensionales System auf eine gewöhnliche Differentialgleichung, die sich relativ einfach lösen lässt.
    Da die uns umgebende Welt aber dreidimensional ist, stellt sich natürlich auch die Frage, wie man mit der Schrödinger-Gleichung im Dreidimensionalen umgeht. Ihre Erfahrung sagt Ihnen zu Recht, dass ein Problem im Allgemeinen sehr viel schwieriger zu lösen ist, wenn ein System eine größere Anzahl von Freiheitsgraden besitzt. Doch auch dann gibt es Wege, die die Lösung vereinfachen: so besitzt der Hamilton-Operator oftmals Symmetrieeigenschaften, die eine Lösung erleichtern. In manchen Fällen erhält man beispielsweise durch eine Änderung der Variablen eine partielle Differentialgleichung, die separiert , also abgespaltet werden kann. Dadurch zerfällt das Eigenwertproblem in mehrere einfache Eigenwertprobleme.
    Je nach Fragestellung verwendet man bei dreidimensionalen Problemen
    Rechtwinklige Koordinaten
    Kugelkoordinaten (sphärische Polarkoordinaten)
    Abbildung 2.2 zeigt eine Darstellung der rechtwinkligen Koordinaten x, y und z (links) und der Kugelkoordinaten r, θ und φ.
     
    Abbildung 2.2 : Rechtwinklige Koordinaten (links) und Kugelkoordinaten (rechts)
    In Kapitel 8 wird zunächst gezeigt, dass man bei bestimmten Aufgaben mit rechtwinkligen Koordinaten arbeitet und die x-, y- und z-Abhängigkeit voneinander abspalten und die Lösung für jede Dimension getrennt berechnen kann. Das heißt, man verwandelt die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung in drei eindimensionale Schrödinger-Gleichungen:

    Im Anschluss daran werden die Ihnen bereits aus Teil II bekannten Beispiele eines freien Teilchens, eines Teilchens in einem rechtwinkligen Potential und in einem harmonischen Oszillator behandelt – jetzt allerdings nicht mehr eindimensional sondern im realen dreidimensionalen Raum.
    In Kapitel 9 wird die Bewegung von Teilchen in