Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

gemacht.
    Darüber hinaus lernen Sie in diesem Kapitel das mathematische Handwerkszeug kennen, das Sie für den weiteren Umgang mit der Quantenphysik unbedingt benötigen. Keine Angst, die Mathematik ist in diesem Buch möglichst einfach gehalten, aber ohne geht es in der Quantenmechanik nun einmal nicht. Erschrecken Sie vor allem nicht vor Begriffen, die komplizierter klingen als sie tatsächlich sind; meistens gibt es eine einfache Erklärung. So ist beispielsweise der in diesem Buch immer wieder erwähnte Hilbert-Raum nichts weiter als ein bestimmter Vektorraum, der auf Grund seiner mathematischen Struktur die Behandlung quantenphysikalischer Probleme deutlich vereinfacht.
    Da in der Quantenmechanik Messgrößen in Form von Operatoren dargestellt werden, ist es von grundlegender Bedeutung, sich im Umgang mit Operatoren zu üben. Sie haben in Kapitel 2 bereits den Hamilton-Operator kennen gelernt, mit dem Sie sich im Verlauf dieses Buches noch sehr ausführlich beschäftigen werden. Darüber hinaus sind natürlich der Orts- und der Impulsoperator grundlegende Größen der Quantenphysik. Aus diesem Grund werden im zweiten Teil dieses Kapitels verschiedene Arten von Operatoren mit bestimmten nützlichen Eigenschaften eingeführt, und die Anwendung der Operator-Mathematik wird ausführlich erläutert.
    Nach der Einführung von Bra- und Ket-Vektoren und hermitescher Operatoren folgt eine Rechnung, bei der von wenigen grundlegenden Definitionen ausgehend die Heisenberg'sche Unschärferelation hergeleitet wird. Anhand dieses Beispiels werden Sie erkennen, dass die Anwendung der Dirac-Schreibweise die Darstellung und Lösung eines quantenmechanischen Problems deutlich vereinfachen kann.
    Im letzten Punkt dieses Kapitels wird schließlich der Zusammenhang zwischen der Dirac-Schreibweise, der Heisenbergschen Matrizenmechanik und der von Erwin Schrödinger entwickelten Wellenmechanik hergestellt. Am Ende des Kapitels steht schließlich eine der zentralen Gleichungen der Quantenmechanik, die Schrödinger-Gleichung .

Vektoren im Hilbert-Raum erstellen
    In der Quantenphysik ersetzen Wahrscheinlichkeiten die absoluten Messwerte. Angenommen, Sie haben ein Würfelpaar geworfen und wollen nun die Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, dass die Würfel bestimmte Werte zeigen. Sie erstellen eine Liste, die die relativen Wahrscheinlichkeiten enthält, dass eine 2, 3, 4, ..., 12 fällt:
Summe der Augen
Anzahl der Möglichkeiten, diese Zahl zu würfeln
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
5
9
4
10
3
11
2
12
1
    Mit anderen Worten, eine 3 zu werfen ist doppelt so wahrscheinlich wie eine 2, und eine 5 ist viermal so wahrscheinlich wie eine 2 usw. Um sie besser verfolgen zu können, können Sie die relativen Wahrscheinlichkeiten nun in einen Vektor übertragen (wenn Sie »Vektoren« aus der Physik kennen, müssen Sie berücksichtigen, dass hier die Komponenten- und nicht die Länge-Richtung-Schreibweise gemeint ist):

    Jetzt kommen Sie also der Art und Weise, wie Quantenphysik funktioniert, schon etwas näher. Hier steht ein Vektor mit der Zahl der Möglichkeiten für die verschiedenen Zustände, die die beiden Würfel einnehmen können. Allerdings sollte die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein. Die Summe der ursprünglichen Zahlen ist 36; also sollten die Einträge durch 36 dividiert werden:

    Allerdings arbeitet die Quantenphysik nicht direkt mit Wahrscheinlichkeiten, sondern mit Wahrscheinlichkeitsamplituden , die die Quadratwurzeln aus den Wahrscheinlichkeiten sind. Um die aktuelle Wahrscheinlichkeit zu finden, dass ein Teilchen sich in einem bestimmten Zustand befindet, muss man die Wellenfunktionen addieren, die gerade durch diese Vektoren ausgedrückt werden, und dann quadrieren ( in Kapitel 1 wird erklärt warum). Um die Wahrscheinlichkeitsamplituden zu erhalten, bildet man also die Quadratwurzeln:

    Jetzt kann man die Wahrscheinlichkeit, eine Zahlenkombination zwischen 2 und 12 zu werfen, im Vektor ablesen; die Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu werfen, ist 1/6, eine 3 zu werfen 2 1/2 /6 usw.

Mit der Dirac-Schreibweise das Leben vereinfachen
    Wenn man einen Zustandsvektor hat, der die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür angibt, dass sich ein Würfelpaar in den verschiedenen möglichen Zuständen befindet, hat man im Grunde einen Vektor im Würfelraum. Dies ist ein 11-dimensionaler Raum, der aus all den möglichen Zuständen gebildet wird, die ein Würfelpaar einnehmen kann. (Mehr über Zustandsvektoren steht im vorhergehenden Abschnitt.)
    Allerdings