Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Einteilchen-Wellenfunktionen, der zugehörige Energieeigenwert ist die Summe aus den Einteilchen-Energien.
    Betrachtet man dagegen identische , d. h. ununterscheidbare Teilchen, so ist die Situation komplizierter. In diesem Fall kann man das Viel-Teilchen-System mithilfe des Permutations - oder Austauchoperators P ij untersuchen, der die Teilchen i und j miteinander vertauscht. Da zweimaliges Anwenden zum Ausgangszustand zurückführt, gilt P ij 2 = 1; somit hat der Austauschoperator P ij die möglichen Eigenwerte +1 und –1, wenn eine Wellenfunktion eine Eigenfunktion von P ij ist. Bei der weiteren Untersuchung zeigt sich, dass es zwei Arten von Eigenfunktionen des Austauschoperators gibt:
    Die Wellenfunktion ψ ist symmetrisch bei Teilchenaustausch; das bedeutet:.
    Die Wellenfunktion ψ ist antisymmetrisch bei Teilchenaustausch; das bedeutet:.
    Dieser Symmetriecharakter eines Systems in eine Erhaltungsgröße . Das bedeutet, dass ein Viel-Teilchen-System bei Teilchenaustausch in jedem Fall entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist und diese Eigenschaft auch immer beibehält.
    Ob ein System identischer Teilchen symmetrisch oder antisymmetrisch ist, hängt von der Natur der Teilchen ab. Wie Wolfgang Pauli zeigen konnte, besteht ein Zusammenhang zwischen Spin und Symmetriecharakter:
    Teilchen mit halbzahligem Spin haben antisymmetrische Wellenfunktionen; sie heißen Fermionen .
    Teilchen mit ganzzahligem Spin haben symmetrische Wellenfunktionen; sie heißen Bosonen .
    Das ist von großer Bedeutung für die gesamte Quantenphysik und führt schließlich zum Pauli-Prinzip, das am Ende von Kapitel 11 erläutert wird. Wie Sie sehen, bietet die Quantenmechanik erheblich mehr als die Lösung der Schrödinger-Gleichung!
    Völlig andere Ansätze machen die Störungs- und die Streutheorie . Die Störungstheorie beschäftigt sich mit der Frage, was passiert, wenn ein Teilchen ein zusätzliches Potential erfährt, etwa ein elektrisches oder magnetisches Feld. Dieses muss natürlich im Hamilton-Operator berücksichtigt werden, so dass die Schrödinger-Gleichung in den meisten Fällen unlösbar ist. In der Störungstheorie geht man davon aus, dass die durch das zusätzliche Feld hervorgerufene Änderung der Energieeigenwerte nur klein ist, und versucht, die genauen Werte durch ein iteratives Verfahren anzunähern.
    Die Streutheorie betrachtet schließlich zwei Teilchen, die sich aufeinander zu bewegen, wechselwirken und sich dann wieder voneinander entfernen. Ziel der Streutheorie ist es vorauszusagen, in welche Richtung sich die Teilchen nach der Wechselwirkung fortbewegen.

3
    In die Matrix überführen: Was sind Zustandsvektoren?
    In diesem Kapitel ...
    Erstellen von Zustandsvektoren
    Dirac-Schreibweise von Zustandsvektoren
    Bra- und Ketvektoren
    Matrizen
    Übergang zur Wellenmechanik
    In der klassischen Physik kann man jedem physikalischen System, dessen Zustand oder dessen zeitliche Veränderung man beschreiben will, eine Anzahl von Größen zuordnen. Dabei besitzt jede dieser Größen zu jedem Zeitpunkt einen wohldefinierten Wert ; wenn man diese Werte angibt, kann man den Zustand des Systems vollständig beschreiben. Darüber hinaus kann man die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, wenn man den Zustand des Systems zu einem gegebenen Anfangszeitpunkt kennt.
    In der Quantenphysik, die sich mit der Untersuchung mikroskopischer Objekte und Systeme beschäftigt, ist das nicht der Fall. Man kann einem quantenmechanischen Teilchen keinen exakten Ort zuschreiben, sondern nur eine Wahrscheinlichkeit angeben, das Teilchen in einem bestimmten Bereich des Raumes zu finden, wenn man eine Ortsmessung durchführt.
    Um sich mit dem Umgang mit Wahrscheinlichkeiten vertraut zu machen, kann man sehr gut einen Würfel verwenden und beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit denen die verschiedenen Werte fallen. Anschließend kann man diese Werte in einer Art und Weise darstellen, die in der Quantenphysik üblich ist. Dazu zählt sowohl die Darstellung in Form von Matrizen als auch von Zustandsvektoren oder Wellenfunktionen .
    Ein Schwerpunkt dieses Kapitels besteht demzufolge darin, zu erläutern, wie man mit Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik umgeht. Wie bereits in Kapitel 2 dargestellt wurde, besteht die geläufigste Methode der Darstellung in der Verwendung der Dirac- oder Bra-Ket-Schreibweise . Daher werden Sie im folgenden bei der Behandlung der Wahrscheinlichkeit bereits mit dieser Schreibweise vertraut