Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

können die Vektoren bei den meisten Problemen der Quantenphysik unendlich groß sein; ein sich bewegendes Teilchen kann sich beispielsweise in einer unendlichen Anzahl von Zuständen befinden. In der Vektorschreibweise ist es allerdings nicht einfach, mit einer so großen Zahl von Zuständen zu rechnen. Statt den ganzen Vektor jedes Mal vollständig auszuschreiben, benutzt man daher in der Quantenphysik gewöhnlich eine Schreibweise, die von dem Physiker Paul Dirac entwickelt wurde, die Dirac- oder Bra-Ket-Schreibweise .

Verkürzte Schreibweise durch Ket-Vektoren
    Die Dirac-Schreibweise verkürzt den Zustandsvektor folgendermaßen zu einem Ket-Vek tor: |ψ>. Damit kann man den Zustandsvektor aus dem Würfelbeispiel als Ket-Vektor schreiben:

    In diesem Fall bestehen die Komponenten des Zustandsvektors aus Zahlen des 11-dimensionalen Würfelraums. Normalerweise bestehen die Komponenten allerdings aus Funktionen; das sieht dann etwa so aus:

    Man kann Funktionen als Komponenten von Zustandsvektoren verwenden, solange diese Funktionen linear unabhängig sind (und so als unabhängige Achsen im Hilbert-Raum betrachtet werden können). Im Allgemeinen ist ein Satz von Vektoren φ N im Hilbert-Raum linear unabhängig, wenn die einzige Lösung der folgenden Gleichung darin besteht, dass alle Koeffizienten a i = 0 sind:

    Solange man keinen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren ausdrücken kann, sind diese Vektoren linear unabhängig und bilden somit eine Basis im Hilbert-Raum.

Den hermitesch Konjugierten als Bra-Vektor schreiben
    Zu jedem Ket-Vektor gibt es einen entsprechenden Bra-Vektor . (Die beiden Wörter Bra und Ket leiten sich vom englischen Wort bracket ab, was im folgenden Abschnitt »Spaß mit Operatoren« genauer erläutert wird.) Ein Bra-Vektor ist der hermitesch Konjugierte des entsprechenden Ket-Vektors.
    Stellen Sie sich vor, Sie haben diesen Ket:

    Das Zeichen * steht für komplex konjugiert. (Die komplexe Konjugation ändert das Vorzeichen zwischen Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl.) Der entsprechende Bra, der in der Form <ψ| geschrieben wird, ist gleich |ψ> T *. Er sieht wie folgt aus:

    Wenn eine der Komponenten des Kets eine komplexe Zahl ist, muss man bei der Bildung des entsprechenden Bras darauf achten, dass an dieser Stelle die komplex konjugierte Zahl stehen muss. Ist beispielsweise die komplexe Zahl im Ket a + bi , so lautet die komplex konjugierte im Bra a – bi .

Bras und Kets miteinander multiplizieren: Eine Wahrscheinlichkeit von 1
    Man kann auch das Produkt aus Ket und Bra bilden, es wird in der folgenden Form geschrieben:

    Das ist einfache Matrizen-Multiplikation, und man erhält das gleiche Ergebnis wie bei der Bildung der Summe der Quadrate:

    Und genau so sollte es ja auch sein, da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergeben muss. Deshalb ist das Produkt aus Bra und Ket immer 1:

    Wenn diese Beziehung gilt, sagt man, der Ket |ψ> ist normalisiert .

Nicht an eine Basis gebundene Zustandsvektoren: Bras und Kets
    Der Grund dafür, dass man in der Quantenphysik hauptsächlich die Ket-Schreibweise benutzt, liegt darin, dass man so mit Zustandsvektoren arbeiten kann, ohne an eine bestimmte Basis gebunden zu sein. Mit anderen Worten, man ist weder an den Ortsraum, noch an den Impuls- oder Energieraum gebunden. Das ist äußerst hilfreich, da die meiste Arbeit in der Quantenphysik aus abstrakten Rechnungen besteht und man nicht all die Komponenten der Zustandsvektoren durch diese Rechnungen mitschleppen will (oftmals geht das auch gar nicht – bei manchen Rechnungen, die man durchführen will, können unendlich viele Zustände vorhanden sein).
    Stellen Sie sich vor, Sie beschreiben die Zustände durch Ortsvektoren in einem dreidimensionalen Hilbert-Raum. Dort haben Sie die x-, y- und z-Achsen, die die Basis in Ihrem Ortsraum bilden. Das ist zwar prima, aber wahrscheinlich können Sie nicht bei all Ihren Rechnungen den Ortsraum benutzen.
    Jetzt wollen Sie beispielsweise die Zustände in einem dreidimensionalen Impulsraum mit den drei Achsen p x , p y und p z im Hilbert-Raum darstellen. Dann müssen Sie alle Ortsvektoren in Impulsvektoren umwandeln, indem Sie jede einzelne Komponente umschreiben und genau verfolgen, was mit jeder einzelnen Komponente während der Rechnung passiert.
    Hier kommt nun Diracs Bra-Ket-Schreibweise zu Hilfe. Sie benutzen sie, um die Mathematik durchzuführen und setzen dann erst die verschiedenen Komponenten Ihrer Zustandsvektoren ein. Das