Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Ordnung), um das Problem vollständig zu lösen.
    Gebundene Zustände sind diskret ; das heißt, das Energiespektrum besteht aus diskreten Energieniveaus. Diese Zustände erhält man aus der Schrödinger-Gleichung. Bei eindimensionalen Problemen sind die Energieniveaus eines gebundenen Zustands nicht entartet.
    Man spricht in der Quantenmechanik von Entartung , wenn zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen gehören oder, mehr physikalisch ausgedrückt, wenn zwei oder mehr Zustände eines quantenmechanischen Systems zur selben Energie gehören. Somit gehört bei eindimensionalen Problemen nur jeweils ein Zustand zum jeweiligen Energieniveau.

Aus Potentialtöpfen entkommen
    Wenn die Energie E eines Teilchens größer ist als das Potential V 1 in Abbildung 4.2 , so kann es aus dem Potentialtopf entkommen. Dabei können zwei Fälle auftreten: V 1 < E < V 2 und E > V 2 . Die folgenden Abschnitte betrachten beide Fälle getrennt.
Fall 1: Die Energie liegt zwischen den beiden Potentialen (V 1 < E < V 2 )
    Wenn V 1 < E < V 2 , so hat das Teilchen im Potentialtopf genügend Energie, um die Barriere auf der linken Seite zu überwinden, nicht aber die auf der rechten Seite. Folglich kann sich das Teilchen bis in das negative Unendliche frei bewegen; der erlaubte x-Bereich liegt also zwischen –∞ und x 2 .
    Die erlaubten Energiewerte sind dabei kontinuierlich, nicht diskret, da das Teilchen nicht vollständig gebunden ist. Die Energieeigenwerte sind nicht entartet; das bedeutet, dass es keine zwei gleichen Energieeigenwerte gibt (in Kapitel 2 findet man mehr über Eigenwerte).
    Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, demzufolge hat sie zwei linear unabhängige Lösungen. In diesem Fall jedoch gibt es nur eine physikalisch sinnvolle Lösung, die nicht divergiert.
    Für x < x 2 oszilliert die Wellengleichung, während sie für x > x 2 stark abfällt.
Fall 2: Die Energie ist größer als das höhere Potential (E > V 2 )
    Wenn E > V 2 , ist das Teilchen nicht gebunden und kann sich frei zwischen dem negativen und dem positiven Unendlichen bewegen.
    Das Energiespektrum ist kontinuierlich, die Wellenfunktion ist die Summe zweier Funktionen, von denen sich eine nach rechts, die andere nach links bewegt. Die Energieniveaus des erlaubten Spektrums sind daher doppelt entartet.
    Das ist der Überblick, den Sie benötigen. Jetzt wird es Zeit, die Schrödinger-Gleichung für verschiedene Potentiale zu lösen; gestartet wird mit dem einfachsten aller Potentiale, dem unendlichen rechteckigen Potentialtopf.

Gebundene Teilchen in unendlichen rechteckigen Potentialtöpfen
    Unendliche rechteckige Potentialtöpfe, bei denen die Wände unendlich hoch sind, sind ein beliebtes Thema von Physikaufgaben. Sie werden im folgenden Abschnitt die Quantenphysik erkunden, die sich mit diesen Aufgaben beschäftigt.

Berechnung der Wellenfunktionen
    Betrachten Sie noch einmal den unendlichen rechteckigen Potentialtopf aus Abbildung 4.1 . Der Potentialtopf sieht folgendermaßen aus:
    V(x) = ∞, für x < 0
    V(x) = 0, für 0 ≤ x ∞ a
    V(x) = ∞, für x > a
    Die Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen sieht wie folgt aus:

    Schreibt man die Schrödinger-Gleichung aus, erhält man:

    In diesem Kapitel sind Sie nur an einer Dimension interessiert, der Strecke in x-Richtung; somit sieht die Schrödinger-Gleichung wie folgt aus:

    Da innerhalb des Potentialtopfes V(x) = 0 gilt, erhält man:

    Diese Gleichung kann man folgendermaßen umformen:

    An dieser Stelle definiert man im Allgemeinen die Wellenzahlund kann so die Gleichung in eine wohlbekannte Form umwandeln:

    Jetzt hat man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und kann die Wellenfunktion für ein Teilchen bestimmen, das sich in einem unendlichen recheckigem Potentialtopf befindet.
    Man erhält zwei voneinander unabhängige Lösungen, da eine Differentialgleichung zweiter Ordnung vorliegt:

    A und B sind Konstanten, die noch bestimmt werden müssen.
    Die allgemeine Lösung von

    ist die Summe aus ψ 1 (x) und ψ 2 (x):

Bestimmung der Energieniveaus
    Wie bereits erwähnt, spielen die Randbedingungen bei der Bestimmung der Wellenfunktion und der Energieniveaus eine wichtige Rolle. Sie hängen immer von der jeweiligen Aufgabenstellung ab. In diesem Fall besagt die allgemeine Randbedingung einer unendlich hohen Potentialschwelle, dass ψ| Schwelle = 0 ist. Das bedeutet, in diesem Fall muss gelten:
    ψ(0) = 0
    ψ(a) = 0
    Aus der Tatsache, dass ψ(0) = 0 ist,