Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

folgt, dass B gleich 0 sein muss, da cos(0) = 1. Und ψ(a) = 0 bedeutet, dass ψ(a) = A sin(ka) = 0. Da der Sinus gleich 0 ist, wenn sein Argument ein Vielfaches von π ist, ergibt sich:

    Man beachte, dass auch n = 0 mathematisch eine Lösung ist; dann wäre aber ψ(x) = 0 und das ist keine physikalisch sinnvolle Lösung. Die physikalische Lösung beginnt mit n = 1.
    Die obige Gleichung kann auch wie folgt geschrieben werden:

    Da k 2  = 2mE/ 2 , ergibt sich die folgende Gleichung, wobei n = 1, 2, 3, ... ist – das sind die erlaubten Energiezustände. Dies sind quantisierte Zustände, die zu den Quantenzahlen 1, 2, 3, ... gehören:

    Man beachte, dass der erste physikalische Zustand n = 1 entspricht, sodass man folgende Gleichung erhält:

    Das ist der niedrigste physikalische Zustand, den das Teilchen einnehmen kann. Man kann sich nun den Spaß machen, ein paar Zahlen in die Gleichung einzusetzen. Angenommen, man hat ein Elektron mit der Masse 9,11 × 10 –31 kg, das in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf eingeschlossen ist, dessen Breite in der Größenordnung des Bohr'schen Radiuses (der durchschnittliche Radius der Elektronenbahn im Wasserstoffatom) von 10 –10 m liegt.
    Die Energie des Grundzustands ist gegeben durch:

    Somit folgt:

    Das ist eine sehr kleine Zahl, ungefähr 37 Elektronenvolt (eV: die Menge an Energie, die ein Elektron gewinnt, wenn es 1 V durchläuft). Sie ist in der gleichen Größenordnung wie die Energie eines Elektrons im Grundzustand eines Wasserstoffatoms (13,6 eV) – Sie befinden sich nun also tatsächlich im Spielpark der Quantenphysik.

Die Normalisierung der Wellenfunktion
    Okay, Sie haben also folgende Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf:

    Bei der Wellenfunktion handelt es sich um eine Sinus-Welle, die bei x = 0 und x = a den Wert 0 annimmt. Die ersten beiden Wellenfunktionen sind in Abbildung 4.3 dargestellt.
     
    Abbildung 4.3 : Wellenfunktionen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf
    Das Normieren der Wellenfunktion erlaubt die Lösung für die unbekannte Konstante A. In einer normierten Funktion summieren sich die Wahrscheinlichkeiten |ψ(x)| 2 dx, ein Teilchen zwischen x und dx zu finden, zu 1, wenn man über den gesamten Potentialtopf von x = 0 bis x = a integriert:

    Setzt man ψ(x) ein, erhält man:

    Das Integral in dieser Gleichung ist gleich:

    Damit ergibt sich für die obige Gleichung:

    Somit ergibt sich für die Lösung von A:

    Die normierte Wellenfunktion mit dem für A eingesetzten Wert lautet also:

    Das ist die normierte Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf.

Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion
    Wie entwickelt sich die Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf mit der Zeit? Die Schrödinger-Gleichung sieht folgendermaßen aus:

    Man kann die Schrödinger-Gleichung auch wie folgt schreiben, wobei H der hermitesche Hamilton-Operator ist:

    Das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung sieht wie folgt aus:

    Verknüpft man die drei obenstehenden Gleichungen miteinander, so erhält man den folgenden Ausdruck, der eine Form der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung darstellt:

    Da wir hier nur mit einer Dimension rechnen, nämlich x, erhält die Gleichung folgendes Aussehen:

    Das ist allerdings viel einfacher als es aussieht, da sich das Potential nicht mit der Zeit ändert. Da E insgesamt konstant ist, kann man die Gleichung wieder umschreiben:

    Diese Gleichung macht das Leben gleich viel einfacher; es ist ganz einfach, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen, wenn man mit einem konstanten Potential rechnet. In diesem Fall lautet die Lösung:

    Schön! Wenn sich das Potential nicht mit der Zeit ändert, besteht die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung aus ψ(x), also dem räumlichen Anteil, multipliziert mit, dem zeitabhängigen Anteil.
    Wenn man nun also den zeitabhängigen Teil zur zeitunabhängigen Wellenfunktion hinzufügt, so erhält man die zeitabhängige Wellenfunktion, die wie folgt aussieht:

    Die Energie des n-ten Quantenzustands ist bekanntlich:

    Damit erhält man folgendes Ergebnis:

    wobei exp(x) = e x .

Der Übergang zu symmetrischen rechteckigen Potentialtöpfen
    Für den normalen unendlichen rechteckigen Potentialtopf gilt:
    V(x) = ∞, für x < 0
    V(x) = 0, für 0 ≤ x ≤ a
    V(x) = ∞,