Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Vernichtungsoperatoren einführen (genau wie in Kapitel 4 beim harmonischen Oszillator). Auf diese Weise können Sie beispielsweise das Problem für den Grundzustand lösen, indem Sie den Vernichtungsoperator an den Grundzustand anlegen und das Ergebnis gleich null setzen – und dann lösen Sie es für den Grundzustand selbst.
    In diesem Fall ist der Erzeugungsoperator L + und der Vernichtungsoperator L – . Diese Operatoren erhöhen und erniedrigen die Quantenzahl von L z . Analog zu Kapitel 4 kann man die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wie folgt definieren:
    Erzeugen: L + = L x + iL y
    Vernichten: L – = L x – iL y
    Diese beiden Gleichungen bedeuten:

    Ebenfalls gilt:

    Das bedeutet, dass folgende Ausdrücke L 2 entsprechen:

    Darüber hinaus gelten folgende Gleichungen:

    Okay, mit all diesen Gleichungen können Sie nun arbeiten; jetzt folgt der interessante Teil. Betrachten Sie zunächst die Wirkung von L + auf |α, β>:

    Um zu sehen, wasergibt, wendet man den Operator L z auf diese Gleichung an:

    Ausfolgt, dass; somit ergibt sich:

    Und weilist, erhält man folgende Gleichung:

    Diese Gleichung besagt, dass der Eigenzustandauch ein Eigenzustand des Operators L z mit dem Eigenwert ( β + 1) ist. Oder verständlicher ausgedrückt:

    Dabei ist c eine Konstante, die später in dem Abschnitt »Die Eigenwerte der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bestimmen« berechnet wird.
    Der Operator L + erhöht die Quantenzahl β um 1. Der Vernichtungsoperator bewirkt dementsprechend das folgende:

    Nun betrachten Sie, wasergibt:

    Da L 2 ein Skalar ist, kommutiert er mit allen Operatoren. Daist, gilt folgendes:

    Und weilist, gilt die folgende Gleichung:

    Der Vernichtungsoperator bewirkt dementsprechend das folgende:

    Diese Gleichungen besagen also, dass die Operatoren L ± den Eigenwert von |α, β> nicht verändern.
    Okay, aber was sind α und β? Lesen Sie weiter!

Die Eigenwerte des Drehimpulses bestimmen
    Die Eigenzustände des Drehimpulses sind die möglichen Werte, die der Drehimpuls annehmen kann; diese müssen also bestimmt werden. Verfolgen Sie nun weiter, wie das gemacht wird.

Zustandsgleichungen mit β max und β min herleiten
    Man beachte, dassist, was eine positive Zahl ist, sodassDaraus folgt:

    Verwendet manundso erhält man:

    Deshalb ist α ≥ β 2 . Es gibt also einen größten möglichen Wert von β, den man β max nennen kann.
    An dieser Stelle kann man schlau sein, da es einen Zustand |α, β nicht weiter erhöhen kann. Man erhält deshalb null, wenn man den Erzeugungsoperator anwendet:

    Wendet man darauf den Vernichtungsoperator an, so erhält man ebenfalls null:

    Und weilgilt, kann man die Gleichung auch wie folgt schreiben:

    Setzt manundein, so erhält man:

    Super, jetzt wissen Sie, was α ist. An diesem Punkt ist es üblich β max in l und β in m umzubenennen, sodass |α, β> in |l, m> übergeht und:

    Aber Sie können noch mehr sagen. Neben β max muss es auch ein β min geben, sodass man null erhält, wenn man den Vernichtungsoperator L – anwendet, da man nicht unter den Wert β min gehen kann:

    Und man kann darauf den Erzeugungsoperator L + anwenden:

    Dagilt, folgt:

    Somit ergibt sich Folgendes:

    Vergleicht man diese Gleichung mit, ergibt sich:

    Da man |α, β min > durch n sukzessive Anwendungen von L - auf |α, β max > erhalten hat, ergibt sich Folgendes:

    Verbindet man diese beiden Gleichungen, so erhält man:

    Deshalb kann β max entweder eine ganze Zahl sein oder eine halbe (abhängig davon, ob n gerade oder ungerade ist).
    Da l = β max , m = β und n eine positive Zahl ist, ergibt sich:. So, nun haben Sie das Ergebnis:
    Die Eigenzustände sind | l,m >
    Die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses ist l
    Die Quantenzahl des Drehimpulses entlang der z-Achse ist m
    wobei
    wobei

    Zu jedem l gibt es 2 l + 1 Werte von m . Ist beispielsweise l = 2, dann gilt:oder 2. Istso gilt:oder
    Abbildung 6.2 zeigt ein repräsentatives Beispiel für L und L z . L ist der Gesamtdrehimpuls und L z ist die Projektion des Gesamtdrehimpulses auf die z-Achse.
     
    Abbildung 6.2 : L und L z

Die Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls
    Im folgenden Beispiel geht es darum, das Spektrum der Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls zu bestimmen. Abbildung 6.3 zeigt die Anordnung: Das rotierende zweiatomige Molekül besteht aus zwei Atomen mit den Massen m 1 und m 2 . Das erste Atom rotiert mit dem Radius r = r 1 und das zweite mit r = r 2 . Welche Rotationsenergie hat das