Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Molekül?
     
    Abbildung 6.3 : Ein rotierendes zweiatomiges Molekül
    Der Hamilton-Operator lautet (wie man in der Einleitung dieses Kapitels lesen kann):

    I ist das Trägheitsmoment:

    Dabei sindund
    Da L = I · ω, gilt L = μ · r 2  · ω. Damit folgt für den Hamilton-Operator:

    Wendet man den Hamilton-Operator auf die Eigenzustände |l, m> an, so erhält man:

    Wie Sie wissen, istsomit folgt:

    Und weil, folgt daraus:

    Die Energie ist also eine Funktion der Drehimpulsquantenzahl l.

Die Eigenwerte der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bestimmen
    Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Bestimmung der Eigenwerte der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des Drehimpulses, die die z-Komponente des Drehimpulses erhöhen oder erniedrigen.
    Zunächst soll L + betrachtet werden, um c zu bestimmen:

    liefert also einen neuen Zustand; multipliziert man diesen mit seinem Adjungierten, so sollte man c 2 erhalten:

    Man beachte, dassgilt. Auf der anderen Seite gilt. Somit erhält man:

    Was macht man mit L + L - ? Weiter oben in diesem Kapitel, im Abschnitt » Die Eigenzustände des Drehimpulses bestimmen«, haben Sie gesehen, dass L + L - = L 2 – L z 2 + L z gilt. Damit folgt für die Gleichung:

    Großartig! Daraus folgt für c:

    Aber was istWendet man die Operatoren L 2 und L z an, so bekommt man für c:

    Das ist gerade der Eigenwert von L + ; das bedeutet, man hat folgende Beziehung:

    Entsprechend kann man zeigen, dass L – das Folgende liefert:

Drehimpuls und Matrix-Darstellung
    Kapitel 4 enthält auch die Matrix-Darstellung der Zustände und Operatoren des harmonischen Oszillators. Man kann den Drehimpuls genauso behandeln (und dann versteht man manchmal leichter, was mit dem Drehimpuls passiert). Im Folgenden wird die Matrix-Darstellung des Drehimpulses auf quantenphysikalischem Niveau vorgestellt.
    Im Folgenden wird ein System mit Drehimpuls betrachtet, das die Drehimpulsquantenzahl l = 1 hat. Das bedeutet, dass m die Werte –1, 0 und 1 annehmen kann. Die drei möglichen Drehimpulszustände kann man folgendermaßen darstellen:

    Wie aber sehen nun die Operatoren, die Sie in diesem Kapitel verwendet haben, in Matrix-Darstellung aus? Was ist beispielsweise mit L 2 ? Man kann L 2 in der Matrix-Darstellung auf folgende Weise schreiben:

    Dabei gilt für die Elemente:

    und so weiter. Die obige Matrix hat also folgendes Aussehen:

    Das kann man auch in der folgenden Form schreiben:

    In der Matrix-Darstellung ist:

    Das bedeutet:

    Was ist mit dem Operator L + ? Wie Sie vielleicht (aus dem vorangegangenen Abschnitt) wissen, ist. In diesem Beispiel ist l = 1 und m = 1,0 oder –1. Somit erhält man folgende Gleichungen:

    Der Operator L + sieht in Matrix-Darstellung wie folgt aus:

    Damit wird aus:

    Und das ist gleich:

    Mit anderen Worten:.
    Okay, was ist mit L _ ? Sie wissen:. In diesem Beispiel ist l = 1 und m = 1,0 oder –1. Somit erhält man folgende Gleichungen:

    Der Operator L – sieht in Matrix-Darstellung wie folgt aus:

    Damit gilt für:

    Und das bedeutet:

    Das heißt:

    Genau, wie Sie es erwartet haben.
    Okay, Sie haben also L 2 , L + und L – bestimmt. Nun können Sie noch L z bestimmen, was mithilfe folgender Gleichungen einfach ist:

    Der Operator L z lautet:

    Somit gilt für:

    Das bedeutet:

    Damit folgt.
    Jetzt fehlen noch L x und L y . Diese zu bestimmen, wird nicht so schwierig, wie Sie vielleicht denken, denn

    und

    Zunächst soll L x betrachtet werden. L + ist gegeben durch:

    und L – ist:

    Damit erhält man für L x :

    Miterhält man für L y :

    Super, das geht ja ausgezeichnet. Wie berechnet man nun [L x ,L y ]? Um das zu bestimmen, muss man nur [L x ,L y ] = L x L y – L y L x berechnen. Man beginnt mit L x L y :

    Das ergibt:

    Auf die gleiche Weise berechnet man L y L x :

    Das ergibt:

    Somit gilt für [L x ,L y ]:

    Und das ist gleich:

    Es gilt auch:

    Somit kann man folgendes umschreiben:

    In:

    Das ist ein feines Ergebnis:

Das Ganze abrunden: Übergang zu Kugelkoordinaten
    Im ersten Teil dieses Kapitels wurde die Dirac-Schreibweise verwendet, die den Vorteil hat, dass sie kurz und übersichtlich ist und man darüber hinaus an kein spezielles Basissystem gebunden ist. In dem Abschnitt »Die Eigenwerte des Drehimpulses bestimmen« haben Sie allein aufgrund der algebraischen Struktur der Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls folgendes Ergebnis für das Eigenwertspektrum erhalten:

    Dabei gilt für die zugehörigen Werte von m:

    Die