Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Drehimpulseigenwerte l sind demzufolge entweder ganzzahlig oder halbzahlig; die Eigenwerte von m liegen in ganzzahligen Schritten zwischen l und –l.
    Im zweiten Teil dieses Kapitels werden speziell die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses bestimmt. Diese Rechnung wird Sie auf die Kugelfunktionen führen, die im Abschnitt ,,Die Eigenfunktionen von L 2 in Kugelkoordinaten“ ausführlich untersucht werden. Aufgrund des engen Zusammenhangs mit der Rotation ist es an dieser Stelle vorteilhaft, von den kartesischen Koordinaten x, y und z zu Kugelkoordinaten (sphärischen Polarkoordinaten) überzugehen, da sie die Mathematik deutlich vereinfachen.
    Im rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem benutzt man x, y und z zur Orientierung. Im Kugelkoordinatensystem verwendet man auch drei Größen, wie Abbildung 6.4 zeigt: r, θ und φ. Die Strecke der Länge r geht vom Nullpunkt zu dem Teilchen, das einen Drehimpuls besitzt; θ ist der Winkel, den r mit der z-Achse bildet, und φ ist der Winkel zwischen der Projektion von r auf die x-y-Ebene und der x-Achse. Man kann zwischen den Kugel- und den rechtwinkligen Koordinaten wie folgt umrechnen:
     
    Abbildung 6.4 : Das Kugelkoordinatensystem

    Die Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in kartesischen Koordinaten lautet folgendermaßen:

    Wenn man zu Kugelkoordinaten übergeht, so erhält man folgende Gleichungen für den Drehimpuls:

    Diese Gleichungen sehen zunächst sehr umfangreich aus. Aber eines sieht man dennoch sofort: Sie hängen nur von θ und φ ab, nicht von r. Die Eigenfunktionen der Operatoren in der obigen Liste können somit in folgender Weise geschrieben werden:

    Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses sind aus der Mathematik bekannte Funktionen, die man als Kugelfunktionen oder Kugelflächenfunktionen Y lm (θ, φ) bezeichnet. Demzufolge gilt:

    Jetzt sind Sie in der Lage, die Eigenfunktionen der gemeinsam diagonalisierbaren Operatoren L 2 und L z des Bahndrehimpulses zu bestimmen. Sie wissen, dass Sie, wenn Sie die Operatoren L 2 und L z auf die Eigenzustände des Drehimpulses anwenden, folgendes erhalten:

    Also muss folgendes gelten:

    Damit können Sie fortfahren. Beachten Sie, dass L z nur von θ abhängt. Das heißt, man kann Y lm (θ, φ) so aufspalten, dass ein Teil nur von θ abhängt und der andere nur von φ. Die Separation von Y lm (θ, φ) in zwei Teile sieht folgendermaßen aus:

    Aus diesem Grund ist das Arbeiten mit Kugelkoordinaten beim Drehimpuls so hilfreich: Man kann die Eigenfunktionen in zwei Teile aufspalten, wobei einer nur von θ abhängt und der andere nur von φ.

Die Eigenfunktionen von L z in Kugelkoordinaten
    Zunächst sollen die Eigenfunktionen von L z in sphärischen Koordinaten berechnet werden. Der Operator L z hat in sphärischen Koordinaten folgendes Aussehen:

    Somit folgt für

    Das ist dasselbe wie:

    Und weilkann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

    Wenn man auf beiden Seiten kürzt, erhält man folgende Differentialgleichung:

    Das sieht einfach aus, und die Lösung ist gerade:

    wobei C eine Integrationskonstante ist.
    Man kann C bestimmen, wenn man darauf besteht, dassnormalisiert ist. Das bedeutet, dass das Folgende gilt:

    Daraus erhält man:

    Somit gilt für

    Sie machen Fortschritte – Sie sind nun in der Lage, einen Ausdruck fürzu finden, sodass fürFolgendes gilt:

    Das ist großartig – Sie haben die Hälfte geschafft. Sie müssen jetzt nur noch den Ausdruck fürbestimmen, der Eigenfunktion von L 2 . Das folgt im nächsten Abschnitt.

Die Eigenfunktionen von L 2 in Kugelkoordinaten
    Jetzt werden Sie es auch noch schaffen, die Eigenfunktion von L 2 ,zu berechnen. Der Operator L 2 lautet in Kugelkoordinaten:

    Das ist tatsächlich ein Operator. Und sie wissen:

    Wenn Sie den Operator L 2 auf Y lm (θ, φ) anwenden, erhalten Sie folgende Gleichung:

    Dagilt, folgt:

    Puuh, worauf haben Sie sich da eingelassen? Wenn Sie kürzen und beide Terme auf eine Seite bringen, erhalten Sie folgende Differentialgleichung:

    Wenn Sie diese Gleichung vereinfachen, indem Sie durch e imφ teilen, dann erhalten Sie folgende Differentialgleichung:

    Diese Gleichung heißt Legendre-Differentialgleichung; ihre Lösungen sind bekannte Funktionen aus der mathematischen Physik. Die Lösungen lassen sich in folgender Form angeben.

    wobeidie Legendre-Funktion ist.
    An dieser Stelle sind nur noch zwei Fragen offen:
    1. Was ist die in dieser Gleichung auftretende Legendre-Funktion?
Die Antwort finden Sie in