Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

dem folgenden kleinen mathematischen Einschub.
    2. Wie lautet die vollständige Darstellung der Eigenfunktionen der Bahndrehimpulses?
Um diese Antwort zu erhalten, bestimmt man die Konstanten C lm , indem man die Eigenfunktion normiert.
Erläuterung der Legendre-Funktion und der Legendre-Polynome
    Aber was sind die Legendre-Funktionen? Man kann die Legendre-Funktionen schreiben als Produkt aus einem Anteil, der von m abhängig ist, und dem Polynom P l (x):

    Dabei sind P l (x) die Legendre-Polynome , das heißt Polynome l-ten Grades in x und x = cos θ. Die Legendre-Polynome sind durch folgende Formel gegeben:

    Mithilfe dieser Gleichung kann man die niedrigsten Legendre-Polynome wie folgt bestimmen:

    Und so weiter. So sehen die ersten Legendre-Polynome P l (x) aus. Doch wie lauten die assoziierten Legendre-Funktionen P lm (x)? Man kann sie ebenfalls berechnen. Man beginnt mit P 10 (x), für das m = 0 ist. Das ist einfach, denn P 10 (x) = P l (x); damit ergeben sich folgende Gleichungen:

    Außerdem kann man folgende Funktionen berechnen:

    Diese Gleichungen geben Ihnen einen Überblick darüber, wie die Funktionen P lm (x) aussehen; das meiste ist also getan. Wie Sie sich erinnern werden, stehen Θ lm (θ), also der von θ abhängige Teil von Y lm (θ, φ), und die Funktionen P lm in folgendem Zusammenhang:

Bestimmung der normierten Eigenfunktionen
    Nun wissen Sie, wie die Legendre-Funktionen P lm lauten, aber wie sehen die Konstanten C lm aus? Wenn Sie die kennen, dann kennen Sie auch die vollstandigen Eigenfunktionen Y lm (θ, φ) des Drehimpulses, da
    Um die Konstanten C lm zu berechnen, können Sie den Weg gehen, den Sie immer in der Quantenphysik gehen, wenn Integrationskonstanten bestimmt werden müssen: Sie normalisieren die Eigenfunktionen. Das sieht fürfolgendermaßen aus:

    In dieser Gleichung ersetzt man die folgenden Größen:

    Man erhält folgende Gleichung:

    Das Integral über φ ergibt 2π, somit folgt:

    Das Integral kann man wie folgt berechnen:

    Mit anderen Worten:

    Das bedeutet:

    Somit folgt für die Eigenfunktion des Drehimpulses in Kugelkoordinaten:

    Diese Gleichung ist die Definition der normierten Kugelfunktionen , der gemeinsamen Eigenfunktionen der Operatoren L 2 und L z des Bahndrehimpulses.
    Die ersten Kugelfunktionen lauten:

    Man kann diese Gleichungen auch benutzen, um die Kugelfunktionen in kartesischen Koordinaten anzugeben:

    Man setzt diese Gleichungen in die folgende ein:

    Damit erhält man die Kugelfunktionen in kartesischen Koordinaten:

Das wichtigste von Kapitel 6 noch einmal in Kürze
    In diesem Kapitel werden zunächst Drehimpulse im Allgemeinen behandelt. Dabei muss man berücksichtigen, dass die verschiedenen Drehimpulskomponenten nicht kommutieren und daher nicht gleichzeitig bestimmt werden können. Da jedoch L 2 skalar ist, gilt folgende Gleichung:

    Demzufolge kann man L 2 und eine Komponente von L gleichzeitig bestimmen. Im Allgemeine wählt man L z , so dass man die Eigenwerte der gemeinsamen Eigenfunktionen von L 2 und L z ermitteln kann.
    Im folgenden definiert man zwei neue Operatoren:
    1. Erzeugungsoperator:
    2. Vernichtungsoperator:
    Anhand dieser Operatoren und ihrer algebraischen Eigenschaften werden dann die Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren im Allgemeinen bestimmt.
    Im Anschluss an diese allgemeingültige Betrachtung werden die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses bestimmt. Man geht zunächst von der Ortsdarstellung von L x , L y und L z aus:

    Anschließend geht man aufgrund des engen Zusammenhangs mit Drehbewegungen zur Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in Kugelkoordinaten über. Um die sogenannten Kugelfunktionen Y lm (θ, φ), die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses zu bestimmen, betrachtet man die Wirkung der Operatoren L 2 und L z auf die Eigenzustände des Drehimpulses:

    Somit müssen für die Kugelfunktionen folgende Gleichungen gelten:

    Da L z nur von θ abhängt, kann man an dieser Stelle einen Separationsansatz wählen und Y lm (θ, φ) in zwei Teile aufspalten, so dass ein Teil nur von θ abhängt, der andere nur von φ:

    Auf Grund der Separation von Y lm (θ, φ) in zwei Teile ist es möglich, zunächst die Eigenfunktionen von L z und anschließend auf Grundlage dieses Ergebnisses die Eigenfunktionen von L 2 zu bestimmen. Am Ende erhält man die vollständige Definition der normierten Kugelfunktionen , der gemeinsamen Eigenfunktionen der Operatoren L 2 und L z des Bahndrehimpulses. Dabei sind die Quantenzahlen l