Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Teil ...
    Die bisherige Darstellung beschäftigte sich vorwiegend mit Teilchen in eindimensionalen Systemen. In diesem Teil wird die Beschreibung auf drei Dimensionen ausgeweitet, was der wirklichen Welt entspricht. Sie werden die Quantenphysik in dreidimensionalen Koordinatensystemen kennenlernen – entweder rechtwinkligen oder Kugelkoordinaten. Damit werden die Grundlagen für die Behandlung von Elektronen in einem Atom gelegt.

8
    Rechtwinklige Koordinaten: Lösen von Problemen in drei Dimensionen
    In diesem Kapitel ...
    Schrödinger-Gleichung in den Dimensionen x, y und z
    Freie Teilchen im Dreidimensionalen
    Rechtwinklige Potentiale
    Der harmonische Oszillator im Dreidimensionalen
    In den Kapiteln 4 und 5 wurde die Schrödinger-Gleichung für charakteristische eindimensionale Potentiale gelöst. Auf diese Weise haben Sie sowohl einige typische Effekte der Quantenmechanik kennen gelernt als auch die Herangehensweise an ein quantenmechanisches Problem eingeübt.
    In diesem sowie in den folgenden Kapiteln wird die Betrachtung auf die »reale Quantenwelt« ausgedehnt, die genau wie die klassische dreidimensional ist. Bevor Sie in Kapitel 9 Probleme bearbeiten, die sich viel einfacher lösen lassen, wenn man Kugelkoordinaten verwendet, werden in diesem Kapitel zunächst Aufgaben behandelt, die sich am besten in den herkömmlichen kartesischen Koordinaten lösen lassen. Das bedeutet, im folgenden werden die Ihnen bereits bekannten Beispiele eines freien Teilchens, eines Teilchens in einem rechtwinkligen Kastenpotential und in einem harmonischen Oszillator im dreidimensionalen Raum behandelt.
    Bei der Lösung mehrdimensionaler Probleme spielt der Separationsansatz, den Sie bereits bei der Bestimmung der Eigenfunktionen des Drehimpulses in Kapitel 6 angewendet haben, eine entscheidende Rolle. Mithilfe des Separationsansatzes oder Produktansatzes kann man eine partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen oftmals einfach lösen. Dabei nimmt man an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form v(x, y) = Y(y) · X(x) darstellen lässt. Setzt man die separierten Funktionen bzw. ihre Ableitungen in die Ausgangsfunktion ein, erhält man eine Gleichung, die sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen aufspalten lässt. Diese löst man dann auf die bekannte Weise unter Verwendung der Randbedingungen.
    Im folgenden Abschnitt wird erläutert, wie man die dreidimensionale Schrödinger-Glei-chung in kartesischen mithilfe des Separationsansatzes in drei unabhängige Schrödinger-Gleichungen aufspalten kann, je eine für jede Koordinate.

Die Schrödinger-Gleichung: Jetzt in 3D-Qualität!
    Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in einer Dimension (die Sie in den Kapiteln 3 und 4 benutzt haben, um die Wellenfunktion zu bestimmen) lautet:

    Man kann sie für den dreidimensionalen Fall wie folgt verallgemeinern:

    Verwendet man den Laplace-Operator, so kann man die Gleichung etwas übersichtlicher formulieren. Der Laplace-Operator lautet:

    Wenn man den Laplace-Operator verwendet, so lautet die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung:

    Um die Gleichung zu lösen, trennt man den zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion ab:

    Im Folgenden ist ψ(x,y,z) die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung und E die Energie:

    So weit, so gut. Aber jetzt sind Sie wohl gegen eine Wand gelaufen – da es im Allgemeinen nicht einfach ist, mit dem Ausdruck ∇ 2 ψ(x,y,z) zu arbeiten, ist die aktuelle Gleichung tatsächlich nur schwer zu lösen.
    Was können Sie also machen? Sie können zunächst den Fall betrachten, dass die Gleichung separierbar ist. Das heißt, Sie können die x-, y- und z-Abhängigkeit voneinander abspalten und die Lösungen für jede Dimension getrennt bestimmen. Im Fall der Trennung der Dimensionen ist das Potential V(x,y,z) also die Summe aus den Potentialen von x, y und z:

    Jetzt kann man den Hamilton-Operator in der Gleichung
    in die drei Hamilton-Operatoren H x , H y und H z unterteilen:

    Dabei ist:

    Wenn man den Hamilton-Operator wie in der Gleichungaufteilt, so kann man auch die Wellenfunktion teilen, die diese Gleichung löst. Man kann sie in drei Teile separieren, einen für x, einen für y und einen für z:

    Das macht das Leben deutlich einfacher, da man den Hamilton-Operator in drei Operatoren unterteilen kann, die aufsummiert werden:

    Die Gesamtenergie E ist jetzt die Summe aus der x-Komponente, der y-Komponente und der z-Komponente der Energie:

    Man erhält somit in drei