Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Für die Kommutatoren von L x , L y und L z gelten die folgenden Regeln:

    Für die Kommutatoren der Spinoperatoren gelten die gleichen Regeln:

    Der Operator L 2 liefert das folgende Ergebnis, wenn Sie ihn auf den Eigenzustand des Bahndrehimpulses anwenden:

    Und wie Sie es erwartet haben, wirkt der Operator S 2 entsprechend:

    Wenn Sie den Operator L z auf einen Eigenzustand des Bahndrehimpulses anwenden, erhalten sie folgendes Ergebnis (siehe Kapitel 5):

    Der Operator S z wirkt entsprechend:

    Was ist mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren L + und L – ? Gibt es entsprechende Operatoren für den Spin? Beim Bahndrehimpuls gilt:

    Es gibt auch beim Spin Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. S + und S – wirken wie folgt:

    Im nächsten Abschnitt werden speziell Teilchen mit Spin 1 / 2 betrachtet.

Spin 1 / 2 -Teilchen und Pauli-Matrizen
    Neben den allgemeinen Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses gibt es bei Spin 1 / 2 -Teilchen (Fermionen) zusätzlich besondere Eigenschaften, die darauf beruhen, dass s z nur zwei Eigenwerte besitzt. Daher erfordern sie eine gesonderte Untersuchung.

    Und die Eigenwerte des Operators S z lauten:

    Man kann diese beiden Gleichungen graphisch darstellen, wie man Abbildung 7.2 entnehmen kann. Die beiden Spinzustände weisen eine unterschiedliche Lage bezüglich der z-Achse auf.
     
    Abbildung 7.2 : Betrag des Spins und seine Lage bezüglich der z-Achse

Spin 1 / 2 -Matrizen
    Es ist an der Zeit, die Spineigenzustände und -operatoren von Teilchen mit Spin 1 / 2 in der Matrix-Darstellung zu betrachten. Zunächst schreibt man den Eigenzustand | 1 / 2 , 1 / 2 > in der folgenden Form:

    Und der Eigenzustand | 1 / 2 , – 1 / 2 > wird folgendermaßen geschrieben:

    Was ist mit dem Spinoperator S 2 ? Dieser lautet in der Matrix-Darstellung:

    Und das ergibt:

    Dementsprechend lautet der Operator S z :

    Das ergibt:

    Verwendet man die Matrix-Darstellung von S z , so kann man die z-Komponente des Spins beispielsweise für den Eigenzustand | 1 / 2 , – 1 / 2 > bestimmen:

    Schreibt man das in Matrixform um, erhält man das Produkt:

    Führt man die Multiplikation durch, erhält man:

    Verwandelt man dieses wieder in die Ket-Darstellung, so erhält man:

    Was ist mit den Leiteroperatoren S + und S – ? Der Operator S + sieht folgendermaßen aus:

    Und der Operator S – lautet:

    Damit kann man beispielsweise S + | 1 / 2 , – 1 / 2 > berechnen. Die Matrixform lautet:

    Die Multiplikation ergibt:

    Oder in Ket-Darstellung:Super.

Pauli-Spinmatritzen
    Oftmals werden die Operatoren S x , S y und S z mithilfe der Pauli-Spinmatrizen σ x , σ y und σ z angegeben. Die Pauli-Spinmatrizen lauten:

    Jetzt können Sie die Operatoren S x , S y und S z mithilfe der Pauli-Spinmatritzen ausdrücken:

    Aha! Und damit endet Ihre Betrachtung des Spins.

Das wichtigste von Kapitel 7 noch einmal in Kürze
    Der Spin ist eine quantenmechanische Eigenschaft aller Teilchen, die 1922 beim Stern-Gerlach-Versuch erstmals an Elektronen entdeckt wurde. Auch alle anderen Elementarteilchen haben einen Spin mit einem unveränderlichen Betrag. Für alle fundamentalen Teilchen kann der Spin nur einen von zwei verschiedenen Werten haben, die als Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums angegeben werden.
    : Das gilt für alle Fermionen wie Elektronen, Neutrinos und Quarks.
    s = 1: Das gilt für alle Bosonen wie Photonen, W- und Z-Bosonen.
    Der Spin der Elementarteilchen ist von grundlegender Bedeutung für die gesamte Physik. Er spielt sowohl beim Aufbau der Materie als auch bei der Festlegung ihrer makroskopischen Eigenschaften eine fundamentale Rolle.
    Da der zum Spin gehörende Operator S = (S x , S y , S z ) denselben Vertauschungsrelationen wie der zum Bahndrehimpuls gehörende Operator L = (L x , L y , L z ) gehorcht, gelten für den Spin auch alle anderen allgemeinen Regeln des quantenmechanischen Bahndrehimpulses. Somit ist auch sichergestellt, dass nur S z und S 2 als simultane Beobachtungswerte auftreten. Der Unterschied zum Bahndrehimpulsoperator besteht nur darin, dass jetzt auch ein halbzahliger Wert der Quantenzahl möglich ist. Um die algebraischen Beziehungen übersichtlich zu formulieren, verwendet man im Allgemeinen die von Wolfgang Pauli eingeführten Spinoperatoren σ x , σ y und σ z . Sie sind folgendermaßen definiert:

    Verwendet man die Matrix-Darstellung, so tragen die Spinoperatoren den Namen Pauli-Matrizen.

Teil IV
    Die Quantenphysik wird dreidimensional
    In diesem