Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

geometrische Form der Elektronenorbitale zu bestimmen.
    Allerdings ist das Wasserstoffatom auch das einzige Atom, für das man die Schrödinger-Glei-chung vollständig lösen kann. Systeme mit mehr als einem Elektron können auch heute mathematisch nicht exakt gelöst werden. Da es jedoch einige gute Näherungsverfahren gibt, kann inzwischen auch das Verhalten von Atomen mit vielen Elektronen mit großer Genauigkeit berechnet werden.
    Nach diesem kurzen historischen Abriss wundern Sie sich sicher nicht, dass das Wasserstoffatom auch in diesem Buch eine zentrale Rolle spielt. Man kann sogar sagen, dass die ersten neun Kapitel dieses Buches so aufgebaut sind, dass sie Sie auf die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom vorbereiten.
    Ihre Erfahrung mit Zentralpotentialen und die Kenntnis der Möglichkeit, die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung aufgrund der Kugelsymmetrie des Problems in drei unabhängige Gleichungen zu separieren, werden Ihnen im folgenden bei der Berechnung des Wasserstoffatoms eine große Hilfe sein. Auch in diesem Fall wird die Lösung des radialen Teils der Schrödinger-Gleichung wieder einen Großteil der Lösung des Gesamtproblems ausmachen. Darüber hinaus werden Sie mit dem Wechsel zu Schwerpunkt-Koordinaten ein weiteres Verfahren zur Vereinfachung der Schrödinger-Gleichung kennen lernen. Doch zunächst wird im folgenden Abschnitt erst einmal das Wasserstoffatom betrachtet und die dazugehörige Schrödinger-Gleichung aufgestellt.

Die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom
    Wasserstoffatome bestehen aus einem einzelnen Proton, um das ein einzelnes Elektron kreist. Abbildung 10.1 zeigt, wie man sich das vorstellen kann.
    Beachten Sie, dass sich das Proton nicht genau im Mittelpunkt des Atoms befindet – direkt im Mittelpunkt befindet sich der Schwerpunkt der Massen. Vielmehr ist das Proton auf einer Bahn mit dem Radius r p zu finden, während sich das Elektron auf einer Bahn mit dem Radius r e um den Mittelpunkt bewegt.
     
    Abbildung 10.1 : Das Wasserstoffatom
    Wie lautet also die Schrödinger-Gleichung, die die benötigte Wellenfunktionen liefert? Klar, sie enthält Ausdrücke für die kinetische und die potentielle Energie von Proton und Elektron. Für die kinetische Energie des Protons gilt:

    wobeigilt. Dabei ist x p die Position des Protons in x-Richtung, y p die in y-Richtung und z p die in z-Richtung.
    Die Schrödinger-Gleichung enthält auch einen Ausdruck für die kinetische Energie des Elektrons:

    wobeigilt. Dabei ist x e die Position des Elektrons in x-Richtung, y e die in y-Richtung und z e die in z-Richtung.
    Neben der kinetischen muss man in der Schrödinger-Gleichung auch die potentielle Energie V(r) berücksichtigen. Somit lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

    Dabei ist ψ( r e , r p ) die Wellenfunktion von Elektron und Proton.
    Die elektrostatische potentielle Energie V( r ) für ein Zentralpotential ist durch folgende Formel gegeben, wobei r der Radiusvektor ist, der die beiden Ladungen trennt:

    In der Quantenmechanik ist es üblich, das CGS-System (Zentimeter-Gramm-Sekunde) der Einheiten zu benutzen; hier gilt.
    Das von den Ladungen des Elektrons und des Protons verursachte Potential im Wasserstoffatom lautet somit:

    Da r = r e – r p ist, folgt für die obige Gleichung:

    Damit lautet die Schrödinger-Gleichung:

    Bevor die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom erläutert wird, wird die Gleichung im folgenden Abschnitt zunächst durch die Einführung von Relativ- und Schwerpunkt-Koordinaten vereinfacht.

Vereinfachung und Aufspaltung der Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff
    Die quantenmechanische Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom lautet:

    Dabei muss man die Entfernung des Protons vom exakten Mittelpunkt, dem Schwerpunkt der Massen des Atoms, berücksichtigen. Das macht die Mathematik sehr kompliziert. Wenn man dagegen annimmt, dass sich das Proton in Ruhe befindet und r p = 0 ist, so vereinfacht sich die Gleichung, sodass sie sich leichter lösen lässt:

    Unglücklicherweise ist diese Gleichung nicht exakt, da sie die Bewegung des Protons vernachlässigt. Wenn Sie mit der vollständigen Version arbeiten wollen, so finden Sie diese in Quantenmechanik-Büchern.
    Um die übliche Schrödinger-Gleichung zu vereinfachen, wechselt man zu Schwerpunkt-Koordinaten. Der Schwerpunkt des Systems Proton-Elektron befindet sich an folgendem Ort:

    Der Vektor zwischen Elektron und Proton