Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

lautet:

    Verwendet man die Vektoren R und r statt r e und r p , so ist die Schrödinger-Gleichung einfacher zu lösen.
    Der Laplace-Operator für R ist nun:.
    Und der Laplace-Operator für r sieht folgendermaßen aus:.
    Wie hängen ∇ R 2 und ∇ r 2 mitundzusammen? Mithilfe der Algebra erhält man den Zusammenhang:

    Dabei ist M = m e + m p die Gesamtmasse undist die reduzierte Masse . Fasst man die Gleichungen für den Schwerpunkt, den Vektor zwischen dem Proton und dem Elektron, die Gesamtmasse und die reduzierte Masse zusammen, so lautet die Schrödinger-Gleichung:

    Da r = r e – r p gilt, folgt.
    Demzufolge gehtin folgende Gleichung über:

    Nachdem man Schwerpunkt-Koordinaten eingeführt hat, enthält die Schrödinger-Glei-chung nur noch Ausdrücke, die entweder von R oder von r abhängen. Das heißt, dass man an dieser Stelle wieder auf die bereits bewährte Methode der Separation zurückgreifen kann. Für die Wellenfunktion gilt:

    Setzt man diese Gleichung in die obige ein, so erhält man:

    Teilt man diese Gleichung durch, so erhält man:

    Sehr gut. Diese Gleichung besteht aus Ausdrücken, die entweder von ψ( R ) oder von ψ( r ) abhängen, aber nicht von beiden. Das bedeutet, man kann diese Gleichung folgendermaßen in zwei Gleichungen separieren (dabei ist die Gesamtenergie E = E R + E r ):

    Multipliziert man, so erhält man:

    Multipliziert man, so erhält man:

    Jetzt hat man zwei Schrödinger-Gleichungen. Die nächsten beiden Abschnitte zeigen, wie man sie unabhängig voneinander löst.

Die Lösung für ψ(R)
    Wie bestimmt man indie Funktion ψ ( R ), die Wellenfunktion des Schwerpunkts des Systems Elektron-Proton? Das ist eine einfache Differentialgleichung und die Lösung lautet:

    Dabei ist C eine Konstante und k der Wellenvektor, wobeigilt. Man kann C bestimmen, wenn ψ ( R ) normalisiert ist, was Folgendes bedeutet:

    Aus dieser Gleichung folgt. Damit ergibt sich:

    In der Praxis ist E R so klein, dass man ψ( R ) gewöhnlich ignoriert bzw. gleich 1 setzt. Mit anderen Worten, die tatsächliche Wirkung beruht auf ψ( r ), nicht auf ψ( R ). ψ( R ) ist die Wellenfunktion für den Massenschwerpunkt des Was- serstoffatoms und ψ( r ) ist die Wellenfunktion für ein (fiktives) Teilchen der Masse m.

Die Lösung für ψ(r)
    Die Schrödinger-Gleichung für ψ( r ) liefert die Wellenfunktion für ein gedachtes Teilchen der Masse m (in der Praxis ist m » m e und ψ( r ) hat sehr große Ähnlichkeit mit ψ( r e ), sodass die Energie E r ungefähr die Energie des Elektrons ist). Die Schrödinger-Gleichung für ψ( r ) lautet:

    Man kann die Lösung in einen radialen und einen winkelabhängigen Teil aufspalten (siehe Kapitel 8):

    Der winkelabhängige Teil besteht aus den Kugelfunktionen Y lm (θ, φ), er ist also bekannt. Jetzt muss man noch die Lösung für den radialen Teil R nl (r) bestimmen. Die Schrödinger-Gleichung für den radialen Teil lautet:

    Dabei ist r =| r |. Um diese Gleichung zu lösen, muss man zwei Fälle betrachten: In einem Fall ist r sehr klein und im anderen sehr groß. Fügt man beide Fälle zusammen, so erhält man eine erste Fassung der Lösung.

Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung für kleine r
    Für kleine r muss die radiale Wellenfunktion verschwinden; man erhält:

    Multipliziert man mit, so erhält man:

    Die Lösung für diese Gleichung ist proportional zu:

    Man beachte, dass R nl (r) verschwinden muss, wenn r gegen null geht – aber der Ausdruck r –l–1 geht gegen unendlich. Das bedeutet, dass B null sein muss, und es ergibt sich somit folgende Lösung:

    Das gilt für kleine r. Der nächste Abschnitt betrachtet sehr große r.

Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung für große r
    Für sehr große r gehtüber in:

    Da sich das Elektron im Wasserstoffatom in einem gebundenen Zustand befindet, gilt E < 0. Deshalb ist die Lösung der obigen Gleichung proportional zu:

    mit
    Man beachte, dassaufgrund des Ausdrucksdivergiert, wenn r gegen unendlich geht, folglich muss B gleich null sein. Das bedeutet, dassist. Im nächsten Abschnitt werden die Lösungen für kleine und große r zusammen gebracht.

Zusammenfügen der Lösungen für die Radialgleichung
    Bringt man die Lösungen für sehr kleine und sehr große r zusammen, so erhält die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung die Form, wobei f(r) eine bisher noch unbestimmte Funktion von r ist. Der nächste Punkt ist nun, die Funktion f(r) zu bestimmen. Das macht man, indem man diese Funktion in die