Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

ersten n Zahlen, also 1 + 2 + … + n, auch in einer einfachen Formel ausdrücken, nämlich 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

    Diese Gleichung ist der Inhalt einer Geschichte über den Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855). Als Gauß noch in die Grundschule ging, stellte der Lehrer den Schülerndie Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Zum Erstaunen des Lehrers war Gauß damit schon nach kurzer Zeit fertig. Er hatte bemerkt, dass die erste Zahl 1 und die letzte Zahl 100 die Summe 101 ergeben – genau wie die zweite Zahl 2 und die vorletzte Zahl 99 die Summe 101 ergibt, genauso 3 + 98 und so weiter. Gauß hat daher 50 · 101 gerechnet.

    Allgemein kann man also sagen, dass man für die Summe der ersten n Zahlen genau die Hälfte der Zahlen (n/2) mit der um 1 erhöhten größten Zahl (n + 1) multiplizieren muss. Oder in der bereits genannten Formel: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

    Zusatzaufgabe: Auf einer Party befinden sich zehn Personen, und zwar fünf Paare. Jede stößt mit jedem an, aber nicht mit seinem Partner. Wie oft klingelt es?

Der zerstreute Professor
    Der Professor und seine Frau haben zwei befreundete Ehepaare zum Abendessen eingeladen. Zunächst trinken sie zusammen einen Begrüßungscocktail. Sie stoßen miteinander an, nicht jeder mit jedem, sondern nur mit ein paar anderen oder auch mit keinem. Aber jedenfalls stößt keiner mit seinem Ehepartner an.
    Der Professor ist ein bisschen zerstreut und hat nicht aufgepasst, wer mit wem angestoßen hat. Als er danach fragt, sagt seine Frau hinterhältig: „Ich verrate dir nur, dass wir anderen fünf jeweils mit einer unterschiedlichen Zahl von Menschen angestoßen haben.“
    Darauf denkt der Professor kurz nach und sagt: „Dann weiß ich erstens, mit wie vielen ich angestoßen habe, und zweitens auch, mit wem du angestoßen hast, nämlich mit denselben Leuten wie ich.“

    Tipp: Wenn die fünf anderen mit jeweils einer unterschiedlichen Zahl von Menschen angestoßen haben, welche Zahlen sind das dann?
    Lösung: Die Lösung ist trickreich: Da keiner mit seinem Ehepartner anstößt, stößt jeder mit höchstens vier anderen Menschen an. Wenn die fünf anderen alle unterschiedliche Zahlen haben, dann müssen das die Zahlen 4, 3, 2, 1 und 0 sein.
    Gehen wir der Reihe nach vor: Angenommen, die Frau des Professors hätte mit vier anderen angestoßen, dann müssten diese die eingeladenen Ehepaare sein. Dann hätte aber keiner von diesen mit 0 anderen Personen angestoßen, was der Aussage der Frau widerspricht.
    Also muss ein Mitglied eines befreundeten Ehepaars – sagen wir die Frau des ersten Ehepaars – mit vier anderen angestoßen haben. Das sind das zweite Ehepaar sowie der Professor und seine Frau. Es gibt nach dieser Überlegung nur noch eine Person, die bisher mit niemanden angestoßen hat: der Mann des ersten Paares. Somit muss er derjenige sein, der insgesamt mit keinem anderen angestoßen hat.
    Bleiben noch die Zahlen 1, 2 und 3. Wenn die Frau des Professors mit drei anderen angestoßen hätte, dann müssten das die erste Frau und das zweite Paar sein. Da alle diese Personen aber bereits mit einer anderen Person angestoßen haben, hätte niemand von ihnen mit genau einem anderen angestoßen.
    Also muss ein Mitglied des zweiten Ehepaars, zum Beispiel die Frau, mit dreien angestoßen haben. Das sind die erste Frau sowie der Professor und seine Frau.
    Es folgt, dass die Frau des Professors, ebenso wie der Professor selbst, mit genau zweien angestoßen hat, und zwar mit denjenigen Partnern aus den befreundeten Ehepaaren, die mit vier beziehungsweise mit drei anderen angestoßen haben.

Ringen in China
    In China wird der Meister im Ringkampf durch das K.-o.-System bestimmt: immer zwei gegeneinander, und der, der verliert, scheidet aus. Das bedeutet nicht, dass die Kämpfe in „Runden“ organisiert werden. Es könnte zum Beispiel auch so sein, dass einer so lange gegen immer neue Gegner kämpft, bis er zum ersten Mal verliert. Die Organisation aller Kämpfe steht aber gar nicht im Zentrum dieser Aufgabe.
    In China ist es so, dass allein im Leichtgewicht 100 000 Chinesen antreten, unter denen der Sieger ermittelt werden soll. Wie viele Kämpfe wird es geben, bis der Meister ermittelt ist?

    Tipp: Wie viele Ringer sind nach dem ersten Kampf noch im Rennen?
    Lösung: Um den Besten unter den 100 000 zu finden, müssen die anderen 99 999 eliminiert werden. Nach dem ersten Kampf sind noch 99 999 Ringer im Rennen. Jeder weitere Kampf