Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

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    Bei jeder Endziffer kann man also gleich vorgehen. Man startet mit der kleinstmöglichen Anfangsziffer 1. Damit ist die zweite Ziffer automatisch festgelegt: Sie ergibt sich aus der Endziffer minus eins. Dann betrachtet man die zweitkleinste Anfangsziffer 2; an der zweiten Stelle steht dann „Endziffer minus zwei“ und so weiter. Nennt man die Anfangsziffer a und die Endziffer e, dann ist die mittlere Ziffer stets gleich e – a.
    Dabei kann die Anfangsziffer natürlich maximal so groß sein wie die Endziffer, sonst könnte die Endziffer nicht die Summe der beiden ersten Ziffern sein. Also liegt die erste Ziffer zwischen 1 und der Endziffer e; also gibt es für sie – bei gegebenem e – genau e Möglichkeiten.
    Somit gibt es eine dreistellige Zahl mit der Endziffer 1, welche die Bedingung erfüllt, zwei Zahlen mit der Endziffer 2, drei mit der Endziffer 3 und so weiter. Und insgesamt gibt es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 Möglichkeiten, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen die Summe der ersten beiden Ziffern genau der letzten Ziffer entspricht.

    Zusatzaufgabe: Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, bei denen die letzte Ziffer die Differenz der ersten beiden Ziffern ist?

Addition zweier Unbekannter
    Die Summe zweier positiver ganzer Zahlen ist 715. Die eine Zahl hat eine Null als letzte Ziffer. Lässt man diese weg, erhält man die andere gesuchte Zahl. Wie lauten die beiden Zahlen?

    Tipp: Die Lösung erschließt sich „von hinten nach vorn“!

    Lösung: Eine der beiden Zahlen ist dreistellig, die andere zweistellig. (Denn wenn die Summe zweier Zahlen 715 sein soll, muss mindestens eine der beiden Zahlen dreistellig sein. Wenn man von dieser die letzte Stelle streicht, ergibt sich eine zweistellige Zahl.)
    Da das Ergebnis der Addition beider Zahlen 715 sein soll und weil bereits bekannt ist, dass die letzte Ziffer der dreistelligen Zahl die Null ist, muss die letzte Ziffer der zweistelligen Zahl eine 5 sein.
    Weil die dreistellige Zahl aus der zweistelligen durch Hinzufügen einer 0 am Ende entsteht, muss die mittlere Ziffer der dreistelligen Zahl ebenfalls gleich 5 sein.

    Daraus ergibt sich die folgende Addition:
    ?50
    + ?5
    715

    Es gibt nur eine Ziffer, durch die beide Fragezeichen so ersetzt werden können, dass eine korrekte Addition entsteht: Die 6. Die Aufgabe lautet dann: 650 + 65 = 715.

    Zusatzaufgabe: Die Summe zweier Zahlen ist 617. Wenn man die letzte Ziffer der einen Zahl streicht (die wir aber nicht kennen), ergibt sich die zweite Zahl. Wie lauten die beiden Zahlen?

Auf der Weide
    Auf einer Weide stehen Kühe, Pferde und Schafe. Wenn man die Kühe von der Weide führt, dann verbleiben insgesamt 12 Tiere auf der Weide. Holt man die Pferde zurück in den Stall, bleiben 22 Tiere übrig, und ohne Schafe sind es 26 Tiere.
    Wie viele Tiere stehen insgesamt auf der Weide?

    Tipp: Betrachten Sie bei Ihren Überlegungen nicht die fehlenden Tiere, sondern die in den drei Fällen jeweils vorhandenen!

    Lösung: Ohne Kühe sind es 12 Tiere, also sind Pferde und Schafe zusammen 12 Tiere. In einer Gleichung ausgedrückt heißt dies „Pferde + Schafe = 12“. Entsprechend erhält man aus den anderen Angaben „Kühe + Schafe = 22“ und „Kühe + Pferde = 26“.
    Wenn man die drei Gleichungen addiert, also jeweils alles auf der linken Seite aufsummiert und ebenso auf der rechten, ergibt sich:
    Pferde + Schafe + Kühe + Schafe + Kühe + Pferde = 12 + 22 + 26.
    Das kann man zusammenfassen zu 2 Pferde + 2 Schafe + 2 Kühe = 60. Das bedeutet: Die linke Seite ist das Doppelte aller Tiere, also muss rechts auch das Doppelte aller Tiere stehen. Daher ist die Anzahl der Tiere gleich der Hälfte von 60 und daher 30.

Wachsreste
    In einer Kerzenfabrik werden aus Wachsrohlingen Kerzen in Form von Teddybären gegossen. Ein Rohling reicht für eine Kerze. In der Gießform bleiben herstellungsbedingt Wachsreste übrig. Die Wachsreste von sechs Kerzen kann man zu einem Rohling für eine weitere Teddybär-Kerze einschmelzen. Wie viele Kerzen kann man herstellen, wenn zu Beginn 36 Wachsrohlinge vorhanden sind?

    Tipp: Das ist so wie mit Zins und Zinseszins!

    Lösung: Folgende Idee ist klar: Bei 36 Kerzen bleibt 36-mal ein Wachsrest in der Form übrig. Da die Wachsreste pro sechs Kerzen für eine weitere reichen, kann man sechs weitere Kerzen herstellen und erhält somit insgesamt 36 + 6 = 42 Kerzen.
    Doch damit nicht genug. Auch bei der Verwertung der Reste bleiben pro sechs Kerzen wieder Wachsreste