Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

Titel: Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Marcus Albrecht u Wagner Beutelspacher

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+ 10 + x = 11, und daraus folgt leicht x = 0,5.

Telegrafenstangen
    An einer Landstraße stehen Telegrafenstangen in regelmäßigen Abständen. Vom ersten bis zum fünften Mast sind es 500 Meter. Wie weit ist es vom ersten Mast bis zum zehnten Mast?

    Tipp: Achten Sie auf die Abstände!

    Lösung: Vom ersten bis zum fünften Mast beträgt der Abstand 500 Meter. Diese verteilen sich gleichmäßig auf den Bereich vom ersten zum zweiten, vom zweiten zum dritten, vom dritten zum vierten und vom vierten zum fünften Mast. Insgesamt sind es somit vier Abschnitte mit jeweils 125 Metern.
    Zwischen zehn Masten gibt es neun Abschnitte. Somit ist die Gesamtlänge 9·125 Meter und damit 1125 Meter.

Summe von aufeinanderfolgenden Zahlen
    Die Summe von sechs aufeinanderfolgenden Zahlen ist 9999. Wie lauten diese Zahlen?

    Tipp: Aufeinanderfolgende Zahlen sind ungefähr gleich groß. Die Summe der sechs Zahlen soll 9999 betragen. Wie groß sind die Zahlen dann ungefähr?

    Lösung: Eine Division durch sechs ergibt, dass die Zahlen im Durchschnitt gleich 1666,5 sein müssen. Genauer gesagt ist das der Mittelwert der sechs Zahlen. Also liegen drei der Zahlen vor 1666,5 und drei kommen danach. Daher ist die erste Zahl 1664. Tatsächlich gilt 1664 + 1665 + 1666 + 1667 + 1668 + 1669 = 9999. Man kann natürlich auch eine Gleichung aufstellen. Wenn wir die kleinste der sechs Zahlen x nennen, dann muss gelten x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 = 9999. Die linke Seite kann man zu 6x + 15 zusammenfassen. Also gilt 6x + 15 = 9999, das heißt 6x = 9984. Daraus ergibt sich x = 1664.

    Sie können die Fragestellung variieren: Versuchen Sie andere Zahlen als 9999. Welche Eigenschaft müssen die Zahlen erfüllen, damit es eine Lösung gibt? Ein Blick auf die Gleichung kann dabei helfen!

Äpfel und Birnen
    Ein Obsthändler hatte zu Beginn des Markttages gleich viele Äpfel und Birnen. Als er am Ende des Tages abrechnet, hat er von den Äpfeln 93 Stück verkauft, von den Birnen jedoch nur 39. Ihm fällt auf, dass er jetzt noch genau doppelt so viele Birnen wie Äpfel hat. Als er dies seinem pfiffigen Sohn erzählt, kann der nach kurzem Überlegen sagen, wie viele Äpfel und Birnen der Vater zu Beginn hatte.

    Tipp: Versuchen Sie zunächst, die Größenordnung der Zahl der Äpfel und Birnen zu Beginn abzuschätzen.
    Lösung: Von den Birnen sind noch doppelt so viele vorhanden wie von den Äpfeln. Umgekehrt wurden – grob gerechnet – etwa doppelt so viele Äpfel wie Birnen verkauft. Das legt nahe, dass etwa zwei Drittel der Äpfel und ein Drittel der Birnen verkauft wurden. Gehen wir also davon aus, dass 39 etwa ein Drittel und 93 etwa zwei Drittel der ursprünglichen Anzahl sind, dann müssen etwa 130 Früchte jeder Sorte zu Beginn vorhanden gewesen sein. Mit einer Proberechnung kann man feststellen, dass diese Zahl noch etwas zu gering angesetzt ist, da die Äpfel nach dem Verkauf noch weniger als die Hälfte der Birnen ausmachen.
    Exakt waren es zu Beginn des Tages jeweils 147 Äpfel und Birnen. Mit zwei Rechnungen kann man das überprüfen: 147 – 93 = 54 und 147 – 39 = 108.

    Mithilfe einer Gleichung kann man die Lösung automatisch herausbekommen. Dazu muss man alle Angaben in Rechenoperationen umsetzen. Wir nennen die Anzahl der Äpfel beziehungsweise Birnen zu Beginn x. Dann gibt es am Ende des Tages x – 93 Äpfel und x – 39 Birnen. Da doppelt so viele Äpfel wie Birnen übrig bleiben, muss man die Zahl der Birnen in der Gleichung verdoppeln: 2 · (x – 93) = x – 39.

Dreistellige Zahlen
    Gesucht sind dreistellige Zahlen wie etwa 358, bei denen die letzte Ziffer gleich der Summe der ersten beiden Ziffern ist. Wie viele solche dreistellige Zahlen gibt es?

    Tipp: Auch wenn es 900 dreistellige Zahlen gibt, ist die Anzahl derjenigen Zahlen, welche die geforderte Bedingung erfüllen, überraschend klein. Wenn Sie ein paar Beispiele aufschreiben, kommen Sie bestimmt der Lösung auf die Spur.
    Lösung: Wir betrachten die letzte Ziffer und spielen alle Möglichkeiten durch.
    Die letzte Ziffer kann nicht Null sein, da sonst alle Ziffern Null sein müssten.
    Betrachten wir die Endziffer 1: Dann gibt es nur eine Möglichkeit, die 101. Denn 011 ist keine dreistellige Zahl, sondern die zweistellige Zahl 11.
    Bei der Endziffer 2 sind zwei Fälle möglich, nämlich 112 und 202. Bei der Endziffer 3 gibt es drei Möglichkeiten (123, 213 und 303), und bei der Endziffer 4 haben wir vier Fälle zu betrachten, nämlich 134, 224, 314 und