Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

Vorwort
    Pizza und Pralinen, Kühe im Halbkreis und keltische Krieger, zerstreute Professoren und rätselhafte Zündschnüre – Denksportaufgaben sind immer konkret. Man redet nicht von Algorithmen, sondern vom Zerbrechen von Schokoladentafeln; wir diskutieren nicht Gleichungen, sondern reden über Kühe, Pferde und Schafe; nicht über Stetigkeit, sondern über Mohnkuchen.
    Darin liegt die Faszination der Aufgaben, dadurch werden sie plastisch und sind sie unmittelbar ansprechend. Man kann sie sich ohne weiteres merken, man kann sie „im Kopf“ mitnehmen, sie lassen einen nicht mehr los. Man knobelt überall: in der U-Bahn, in einer langweiligen Unterrichtsstunde und sogar in der Badewanne Man könnte sogar sagen: Es knobelt in einem. Die Aufgaben entwickeln ein Eigenleben, unser Gehirn arbeitet auch unterbewusst daran – und dann passiert plötzlich ein Wunder: Es macht „Klick“, und man sieht die Lösung. Manche Aufgaben können auch durch stures Rechnen oder systematisches Probieren gelöst werden, aber den „Klick“ behalten wir im Gedächtnis!
    Wir erhalten die Lösungen allerdings nicht, indem wir über Kelten forschen, mit Zündschnüren experimentieren oder Massen von Schokoladetafeln zerbrechen. Auch die Aufgabenstellungen nützen uns – vorsichtig ausgedrückt – nicht direkt zur Bewältigung des Alltags. Kein Mensch schneidet eine Pizza so, dass sich möglichst viele Stücke ergeben – unabhängig von Größe und Gestalt. Niemand zählt 500 Mohnkügelchen auf einem Kuchen ab; und noch nie hat jemand ein halbkreisförmiges Stück Land geerbt, auf dem eine Kuh grasen muss.
    Unser Gehirn weiß (und irgendwann merken wir das auch): Es geht im Grunde gar nicht um Schokolade und Bonbons, um chinesische Ringer und keltische Krieger, um ungerechte Väter und gerechte Großväter. Für unser Gehirn ist die Einkleidung ein verführerischer Anlass, sich mit der Struktur, den dahinter steckenden Ideen, kurz: der Mathematik zu beschäftigen.
    Diese Richtung ist die richtige: Von einer konkreten Aufgabenstellung zur dahinter stehenden Idee, von der Pizza zur Flächenaufteilung, von Konkreten zum Abstrakten.
    Aufgaben zählen zu etwas vom Wichtigsten in der Mathematik. Denn dabei wird die Fähigkeit geschult, Probleme zu lösen. Dies ist nach Meinung zahlreicher Mathematiker mit die wichtigste Kompetenz in der Mathematik, und ganz sicher eine außerordentlich wichtige Fähigkeit für unser tägliches Leben!

    Wir haben in diesem Buch unsere Favoriten zusammengestellt. Bei der Auswahl ließen wir uns von folgenden drei Kriterien leiten.
    • Manche Fragen wurden uns häufig gestellt, zum Beispiel von Besuchern des Mathematikums. Diese Aufgaben gehören nach Meinung der Aufgabensteller offenbar zur mathematischen Allgemeinbildung.
    • Hinter manchen Aufgaben stecken wichtige mathematische Kniffe und Methoden. Wenn man diese Tricks in einer Knobelaufgabe kennen gelernt hat, hat man – ohne es zu merken – schon etwas Wichtiges von der Mathematik verstanden.
    • Schließlich sollten möglichst viele Teilgebiete der Mathematik angesprochen werden; tatsächlich kommen unter anderem die Gebiete Geometrie, Algebra, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung vor.

    Dies ist unsere Auswahl, die natürlich auch von unserem Geschmack bestimmt ist. Wenn Sie eine Aufgabe kennen, von der Sie denken: die müsste hier auch vorkommen, dann schreiben Sie uns!

    Gießen und Berlin, im März 2010
Albrecht Beutelspacher
Marcus Wagner

1.
Zahlen und Zählen

Miteinander anstoßen
    Zu Beginn ein Klassiker: Auf einer Party sind zehn Personen. Jeder stößt mit jedem genau einmal an. Wie oft „klingelt“ es?

    Tipp: Wir können uns das sehr systematisch (und wenig kommunikativ) so vorstellen, dass zunächst der Erste mit allen anderen anstößt. Dann der Zweite mit allen – außer dem Ersten. Dann der Dritte mit allen – außer den beiden Ersten. Und so weiter.
    Lösung: Wenn die Teilnehmer der Party genauso systematisch anstoßen, dann stößt der Erste mit neun anderen an, die zweite Person mit acht anderen und so weiter. Der Vorletzte stößt noch mit einer „freien“ Person an, und der Letzte muss gar nicht mehr selbst aktiv werden. Also klingelt es insgesamt 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45-mal!
    Zusatzaufgabe: Auf einer Party ist eine bestimmte Anzahl von Menschen. Jeder stößt mit jedem genau einmal an. Insgesamt „klingelt“ es genau 55-mal. Wie viele Menschen sind auf der Party?

    Man kann die Summe der