Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

reduziert die Zahl der Ringer um einen weiteren. Da in jedem Kampf genau einer ausscheidet, braucht man genau 99 999 Kämpfe.
    Zusatzaufgabe: Sie haben eine Schokoladentafel, die aus genau 24 Teilchen besteht. Sie zerbrechen zunächst die ganze Tafel in zwei Stücke. Dann nehmen Sie ein Stück und zerbrechen es in zwei Teile und so weiter. Immer ein Teil in zwei Teile. Wie Sie das machen, ist Ihnen völlig freigestellt!

    Frage: Wie oft müssen Sie ein Stück zerbrechen, um am Ende die 24 Teile einzeln zu haben?

Die Balkenwaage
    Stellen Sie sich eine Balkenwaage vor, also eine Waage mit zwei Schalen. Auf die eine legt man die Sache, die man wiegen möchte, auf die andere die Gewichte. Wenn die Waage im Gleichgewicht ist, dann liegt rechts und links das gleiche Gewicht. Wenn sich die Waage nach links senkt, dann liegt links das größere und rechts das geringere Gewicht.
    Sie sollen damit Münzen wiegen. Es stehen keine Gewichtssteine zur Verfügung, aber Münzen, deren Gewicht Sie vergleichen sollen. Insgesamt handelt es sich um 27 Münzen, die vollkommen gleich aussehen; alle wiegen genau gleich viel, bis auf eine, die leichter ist als die anderen 26.
    Ihre Aufgabe besteht darin, herauszufinden, welche die leichte Münze ist. Und das mit möglichst wenigen Wägungen.

    Tipp: Wie würden Sie das machen, wenn es nur drei Münzen gäbe, von denen eine leichter als die beiden anderen ist? Das bekommen Sie mit einer einzigen Wägung hin!
    Lösung: Haben sie die Aufgabe mit drei Münzen gelöst? Klar: Sie haben zwei herausgegriffen und eine von ihnen auf die eine Waagschale, die andere auf die andere Waagschale gelegt. Wenn die Waage im Gleichgewicht bleibt, dann sind diese beiden Münzen gleich schwer, und die dritte Münze muss die leichte sein. Wenn sich aber eine Waagschale senkt und sich die andere hebt, dann liegt die leichte Münze in der Waagschale, die nach oben steigt.
    Als Nächstes nehmen wir neun Münzen, die alle gleich aussehen und von denen acht gewichtsmäßig identisch sind, aber eine leichter ist.
    Die Idee ist, dieses Problem auf das vorige zurückzuführen: Wir nehmen sechs Münzen und legen drei davon in die eine Waagschale, drei in die andere. Wenn eine Waagschale nach oben geht, muss die leichte Münze bei diesen sein. Wenn die Waage im Gleichgewicht ist, dann muss die leichte Münze bei den drei noch ungewogenen sein. In jedem Fall haben wir das Problem auf drei Münzen reduziert und machen nun weiter wie beim ersten Mal.
    Bei 27 Münzen greifen wir 18 heraus, legen neun auf die eine, die anderen neun auf die andere Waagschale und … Sie wissen, wie es weitergeht!

Die Seiten des Buches
    Im Dezimalsystem benutzen wir die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Mit ihnen kann man alle Zahlen schreiben.
    Um die Seiten eines dicken Buches zu nummerieren, benötigt man insgesamt 2010 Ziffern. Wie viele Seiten hat dieses Buch? (Es beginnt auf Seite 1).

    Tipp: Um die Zahlen von 1 bis 9 zu schreiben, braucht man neun Ziffern. Wie viele Ziffern benötigt man, um die Zahlen von 10 bis 99 zu schreiben?
    Lösung: Von 10 bis 99 gibt es genau 90 Zahlen; für jede braucht man zwei Ziffern. Also braucht man für die Zahlen von 1 bis 99 insgesamt 9 + 2 · 90 = 189 Ziffern. Nun vermuten wir, dass das Buch eine dreistellige Zahl von Seiten hat. Wir nennen diese Seitenzahl x. Von 100 bis zu x sind es x – 99 Zahlen. Zum Beispiel sind es von 100 bis 101 zwei Zahlen, also 101 minus die 99 ein- und zweistelligen Zahlen. Jede dieser Zahlen benötigt drei Ziffern; zusammen braucht man also 3·(x – 99) Ziffern. Insgesamt benötigt man also für die Zahlen von 1 bis zu einem dreistelligen x genau 189 + 3 · (x – 99) Ziffern. Wenn dabei die Zahl 2010 herauskommen soll, gilt 189 + 3 · (x – 99) = 2010. Wenn man das ausrechnet, ergibt sich x = 706.

Kerzenhalter und Kerze
    Ein Kerzenhalter inklusive Kerze kostet 11 Euro. Dabei kostet der Halter 10 Euro mehr als die Kerze. Wie viel kostet die Kerze?

    Tipp: Subtrahieren allein reicht nicht!

    Lösung: Die Antwort „Die Kerze kostet 1 Euro“ ist verführerisch. Doch sie ist nicht richtig, da dann der Halter mit einem Preis von 10 Euro nur 9 Euro mehr als die Kerze kosten würde. Um die angegebene Differenz von zehn Euro zu erhalten, muss die Kerze 50 Cent und der Halter 10,50 Euro kosten! Man kann die Aufgabe natürlich auch mit einer Gleichung lösen. Wenn wir den Preis der Kerze x nennen, dann kostet der Kerzenhalter 10 + x. Da beide zusammen 11 Euro kosten, gilt x