Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

für eine weitere Kerze übrig. Da es genau sechs zusätzliche Kerzen waren, kann man somit noch eine weitere Kerze herstellen, insgesamt also 43.

Sieben im Kreis
    Die Zahlen 1 bis 7 sollen so in die Figur eingetragen werden, dass sich beim Addieren dreier Zahlen fünf Mal dieselbe Summe ergibt, und zwar auf jeder Linie von der Mitte nach außen und auf den beiden Ringen um den Mittelpunkt.

    Tipp: Finden Sie zunächst heraus, welche Summe man auf fünf verschiedene Weisen aus drei Zahlen zwischen eins und sieben bilden kann.
    Lösung: Zunächst scheinen die Kombinationsmöglichkeiten bei drei Zahlen zwischen 1 und 7 sehr zahlreich zu sein. Doch die Aufgabenstellung schließt viele Möglichkeiten aus: Es darf keine Zahl doppelt vorkommen. Zudem muss die gleiche Summe auf fünf verschiedene Weisen gebildet werden können.
    Die kleinstmögliche Summe ist 1 + 2 + 3 = 6. Doch es gibt keine weitere Möglichkeit, mit anderen Zahlen aus dem vorgegebenen Bereich die gleiche Summe zu erzeugen. Auch die Summe 7 kann nur auf eine Weise erhalten werden, nämlich als 7 = 1 + 2 + 4. Für die Summe 8 gibt es bereits zwei Möglichkeiten: 1 + 2 + 5 und 1 + 3 + 4.
    Überlegt man nach dieser Methode weiter, so sieht man, dass einzig die Summe 12 auf fünf verschiedene Weisen gebildet werden kann: 1 + 4 + 7, 1 + 5 + 6, 2 + 3 + 7, 2 + 4 + 6, 3 + 4 + 5 ergeben jeweils 12. Wenn man diese Kombinationen genauer betrachtet, so fällt auf, dass jede Zahl in zwei Kombinationen vorkommt, mit Ausnahme der 4, die in drei Kombinationen auftaucht. Da in der vorgegebenen Anordnung nur an einer Stelle drei der Kombinationen zusammentreffen, muss die 4 in der Mitte stehen. Die Anordnung der restlichen Zahlen ergibt sich dann schnell.

2.
Brüche und Prozente

Die Badewanne
    Um eine Badewanne vollkommen zu füllen, braucht man zwei Minuten. Nach dem Ziehen des Stöpsels dauert es aber drei Minuten, bis die Wanne leer ist. Wie lange dauert das Füllen, wenn das Wasser zuläuft und gleichzeitig der Stöpsel gezogen ist?

    Tipp: Welcher Anteil der Wanne ist nach einer Minute gefüllt?

    Lösung: Es dauert genau sechs Minuten, bis die Wanne gefüllt ist.
    Man kann sich das so überlegen: In einer Minute füllt sich die Wanne bei eingestecktem Stöpsel zur Hälfte. Umgekehrt: Wenn man den Stöpsel zieht, leert sich die volle Wanne in einer Minute um ein Drittel. Geschieht beides gleichzeitig, so ist nach einer Minute eine Hälfte minus ein Drittel, also ein Sechstel der Wanne gefüllt. Daher dauert es sechs Minuten, bis die Wanne ganz gefüllt ist.
    Ganz kurz und elegant erklärt: In sechs Minuten kann sich die Badewanne dreimal füllen, aber nur zweimal leeren.

Wer verdient mehr?
    Herr Adam und Frau Eva haben früher beide gleich viel verdient. Im letzten Jahr wurde das Gehalt von Herrn Adam um 10 Prozent erhöht und das von Frau Eva um 10 Prozent gekürzt. In diesem Jahr erging es Frau Eva besser: Ihr aktuelles Gehalt wurde um 10 Prozent erhöht, während das von Herrn Adam um 10 Prozent gekürzt wurde. Wer verdient jetzt mehr?

    Tipp: Überlegen Sie zunächst, ob sich die Erhöhung und die Verringerung gegenseitig aufheben.
    Lösung: Nehmen wir an, dass beide zunächst jeweils 2000 Euro verdient haben. 10 Prozent davon sind 200 Euro. Im letzten Jahr hat sich das Gehalt von Herrn Adam daher auf 2200 Euro erhöht und das von Frau Eva auf 1800 Euro verringert.
    In diesem Jahr wurde das Gehalt von Herrn Adam um 10 Prozent, also um 220 Euro, auf 1980 Euro verringert. Frau Eva erhält 10 Prozent ihres Gehaltes, also 180 Euro, mehr und somit ebenfalls 1980 Euro. Das aktuelle Gehalt ist bei beiden gleich, aber niedriger als am Anfang!

    Dass man die Reihenfolge von Erhöhung und Verringerung vertauschen kann, ist eine Eigenschaft der Prozentrechnung, die als „Kommutativität“ bezeichnet wird. Sie taucht immer beim Multiplizieren auf. Im Grunde kann man die Lösung der Aufgabe auf folgende Gleichung zurückführen: 2000 Euro · 1,1 · 0,9 = 1980 Euro genau wie 2000 Euro · 0,9 · 1,1 = 1980 Euro. Diese Gleichung gilt wegen der „Kommutativität“: 1,1 · 0,9 = 0,9 · 1,1.

Der Nachtwächter
    In einem Bürogebäude macht ein Nachtwächter zu jeder vollen Stunde seinen Rundgang. Ein fleißiger Angestellter, der bis spät in die Nacht an seinem Schreibtisch sitzt, wird von ihm aufgeschreckt und fragt ihn nach der Uhrzeit. Darauf bekommt er trotz vorgerückter Stunde die folgende Antwort: „Rechnet man die Hälfte, ein Drittel und ein Viertel der Stunden