Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

1/3 = 2/3.
    Versucht es Spieler 1 dagegen mit Würfel D, so sollte Spieler 2 zu Würfel C greifen.

    Abbildung 23: Analyse des Duells von Würfel D gegen Würfel C
    Hier gewinnt Spieler 1 nur, falls er eine 5 würfelt und Spieler 2 eine 2 bekommt. Wiederum behält Spieler 2 mit der Wahrscheinlichkeit 1 – ½ × 2/3 = 2/3 die Oberhand.
    Wählt Spieler 1 selbst Würfel C, so ist Würfel B optimal für Spieler 2.

    Abbildung 24: Analyse des Duells von Würfel C gegen Würfel B
    Abermals ist Spieler 2 mit Wahrscheinlichkeit 2/3 × 1 = 2/3 siegreich.
    Was aber, wenn Spieler 1 Würfel B wählt? Kann Spieler 2 auch dann noch kontern? Gibt es einen Würfel, der B dominiert?
    Ja! Es ist, wer hätte das gedacht, Würfel A! Und so schließt sich der Kreis.

    Abbildung 25: Analyse des Duells von Würfel B gegen Würfel A
    Auch in diesem Fall besitzt Spieler 2 die Gewinnwahrscheinlichkeit 1 × 2/3 = 2/3.
    Als Ergebnis unserer Analyse kann fixiert werden: Reihum dominiert der folgende Würfel stets den vorhergehenden in der Abfolge ADCBA…
    Das muss man intellektuell erst einmal verarbeiten: Wer die erste Waffenwahl beim Duell hat, ist im Nachteil. Und das ist bei Weitem noch nicht das Ende aller Überraschungseffekte. Erkenntnistheoretisch wird hier nicht gerade im Schonwaschgang geschleudert.
    Nehmen wir unser Thema also erneut und in einer Manier auf, die einen weiteren verblüffenden Dreh zutage fördert. Die Situation ist jetzt insofern übersichtlicher, als nur drei statt vier Würfel zum Einsatz kommen. Ihre Seiten seien wie folgt beschriftet:

    Abbildung 26: Drei Würfel A, B, C und ihre Augenzahlen
    Die Würfel treten wieder gegeneinander an. Wirft man A und C, gibt es 36 mögliche Kombinationen der Würfelseiten. Von diesen 36 Fällen zeigt Würfel A 21-mal die größere Augenzahl. Das sind 58,3 %. Würfel A dominiert also Würfel C. Wir notieren dies symbolisch als

    Mit derselben Überlegung ergeben sich auch die übrigen Dominanzbeziehungen.

    Auch hier besteht ein Antitransitivitätseffekt, diesmal in der Form:

    Wieder ist der Spieler, der die zweite Wahl des Würfels hat, gegenüber dem Erstwähler im Vorteil. So weit ist die Szenerie uns bereits vertraut und das Beispiel bietet bisher noch keinen neuen Aspekt. Doch dieser folgt sogleich: Wir wollen jetzt jeden Würfel zweimal werfen und die Summen der geworfenen Augenzahlen bilden. Wir lassen also die Würfel mit ihren Augensummen bei zweimaligem Werfen gegeneinander antreten.
    Jetzt ist die Analyse des Abzählens aller Möglichkeiten viel aufwendiger und komplizierter. Es gibt hier 36 × 36 = 1296 Kombinationsmöglichkeiten der Seiten. Tritt A gegen B an, so gewinnt A in 675 und B in nur 621 dieser Fälle. Das sind 52,1 % zugunsten von A. Überraschenderweise dominiert also nun nicht mehr Würfel B in der Auseinandersetzung mit Würfel A, wie es bei einmaligem Werfen noch war, sondern es verhält sich genau umgekehrt. Und das ist kein Einzelfall. Bei zweimaligem Würfelwerfen erleben wir generell eine frappierende Umkehrung aller bisherigen Dominanzbeziehungen. Das bezeichnen wir jetzt so:

    Die weiteren Ergebnisse sind

    Da sich alle Dominanzbeziehungen gedreht haben, bleibt die Nichttransitivitätsrelation erhalten, nunmehr in der Form:

    Wie kann man sich schnell von der Richtigkeit unserer Analyse überzeugen, ohne sich mit der zeitraubenden Auflistung und Abzählung aller 1296 Einzelfälle zu plagen? Denn das ist nervtötender,als den Müll in 17 Behälter zu trennen. Nun lässt sich das Hindernis zum Ziel zum Glück aber auch müheloser überwinden.
    Eine Aufgabe lösen heißt …
    … einen Ausweg aus einer Schwierigkeit finden, einen Weg um ein Hindernis herum entdecken, ein Ziel erreichen, das nicht unmittelbar erreichbar war. Das Lösen von Aufgaben ist die spezifische Leistung der Intelligenz, und Intelligenz ist die spezifische menschliche Gabe: Das Lösen von Aufgaben kann unter allen Tätigkeiten des Menschen als diejenige angesehen werden, die für ihn am charakteristischsten ist.
    George Polya, Vom Lösen mathematischer Aufgaben
    Wir stellen eine überaus geistreiche Methode vor, die es erlaubt, Dominanzbeziehungen zwischen Würfeln schnell zu analysieren, auch bei zweimaligem und mehrmaligem Werfen. Es ist eine Methode des Zählens, ohne tatsächlich zu zählen. Das hört sich mysteriös an? Dann enträtseln wir das Mysterium gemeinsam.
    Alles auf Anfang.
Wir beginnen mit der Darstellung der Methode bei nur einmaligem Würfeln. Der Würfel A