Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

möglichen 3er-Kombinationen von Kopf (K) und Zahl (Z), nämlich: KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK,ZZZ. Spieler 2 wählt dann irgendein anderes Tripel. Anschließend wird die Münze geworfen, bis erstmals einer der ausgesuchten 3er-Blöcke erscheint. Wählt zum Beispiel Spieler 1 den Block KKZ und Spieler 2 den Block KZK, dann gewinnt Spieler 1 etwa im Fall der Münzwurfserie
    ZKZZKZZK KKZ ,
    da sein auserkorener Block mit den letzten drei Münzwürfen zuerst aufgetreten ist.
    Dieses Spiel sieht nach einer ziemlich fairen Angelegenheit aus, oder? Es ist aber alles andere als fair. Bei genauer Untersuchung zeigt sich, dass ganz egal, welchen 3er-Block A der erste Spieler gewählt hat, Spieler 2 immer einen Block B wählen kann, der A mit mindestens einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 schlägt. Damit ist gemeint, dass es für jeden beliebigen 3er-Block einen anderen 3er-Block gibt, der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 2/3 in einer Serie von Münzwürfen vor dem erstgewählten 3er-Block auftritt. Zu einem gegebenen Block A lässt sich ein ihn dominierender Block leicht so konstruieren, dass man das Gegenteil der mittleren Position von Block A ganz vorne anfügt (K statt Z und Z statt K) und die letzte Position von Block A streicht. Ein Beispiel mag nützlich sein: Wenn Block A etwa KKZ ist, dann wählt Spieler 2 den Block ZKK. Wählt Spieler 1 den Block KZK, dann wählt Spieler 2 den Block KKZ.
    Um das Prinzip der Analyse dieses Spiels zu verdeutlichen, ermitteln wir einmal die Wahrscheinlichkeit, dass KZZ gegen KKZ gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit, dass KZZ zuerst erscheint, ist das Mittel der Gewinnwahrscheinlichkeiten von KZZ, gebildet über die 4 Möglichkeiten für die ersten beiden Münzwürfe. Um eine nützliche Bezeichnung einzuführen, sei p(KK) die Wahrscheinlichkeit, dass KZZ das Rennen gewinnt, wenn die ersten beiden Würfe der Münzwurfserie KK ausgehen. Geht nun der dritte Wurf ebenfalls K aus, dann sind wir immer noch in derselben Situation wie zuvor: Keiner der beiden Spieler hat gewonnen und die letzten beiden Würfe waren KK. Es ist weiterhin nur ein Z zum Sieg von KKZ erforderlich.
    Ist der dritte Wurf tatsächlich aber Z, dann hat KKZ gewonnen und die Gewinnwahrscheinlichkeit von KZZ fällt auf 0. Nun muss man, um
p
(
KK
) zu errechnen, diese beiden Möglichkeiten für den dritten Wurf bzw. deren Wahrscheinlichkeiten gewichtet mitteln und erhält ohne viel Umschweife
    p
(
KK
) = 1/2p(
K
K) + 1/2 × 0 = 1/2
p
(
KK
).
    Entsprechend geht man vor, wenn die ersten beiden Würfe als KZ angenommen werden. Wenn dann der dritte Wurf K ist, hat noch kein Spieler gewonnen. Die letzten beiden Würfe waren ZK, und die Wahrscheinlichkeit, dass KZZ letztendlich gewinnt, beträgt von diesem Stadium aus gesehen deshalb
p
(
ZK
). Falls dagegen der dritte Wurf Z ausgeht, bedeutet das den sofortigen Sieg von KZZ. Beide Befunde zusammen ergeben die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Block KZZ nach der Anfangssequenz KZ als das Mittel
    p
(
KZ
) = 1/2
p
(
ZK
) + 1/2 × 1 = 1/2
p
(
ZK
) + 1/2.
    Auf analoge Art und Weise können zwei weitere Gleichungen erzeugt werden.
    Insgesamt liegt dann dieses leicht verdauliche Gleichungssystem vor:
    1.     
p
(
KK
) = 1/2
p
(
KK
)
2.     
p
(
KZ
) = 1/2
p
(
ZK
) + 1/2
3.     
p
(
ZK
) = 1/2
p
(
KK
) + 1/2
p
(
KZ
)
4.     
p
(
ZZ
) = 1/2
p
(
ZK
) + 1/2
p
(
ZZ
)
    Aus diesen harmlosen Gleichungen bezieht man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten schrittweise. Gleichung 1 liefert
p
(
KK
) = 0 ohne Umschweife. Dann wird Gleichung 3 zu
p
(
ZK
) = 1/2
p
(
KZ
) und damit Gleichung 2 nach Einsetzen zu
p
(
KZ
) = ¼
p
(
KZ
) + 1/2, woraus
p
(
KZ
) = 2/3 ablesbar ist. Im Anschluss daran ergibt Gleichung 3 kurzerhand
p
(
ZK
) = 1/3. Bei Verwendung von Gleichung 4, der
p
(
ZZ
) =
p
(
ZK
) zu entnehmen ist, gewinnt man schließlich noch den Wert
p
(
ZZ
) = 1/3.
    So gerüstet, stellt sich aus diesen vier Werten durch Mittelwertbildung die Wahrscheinlichkeit ein, dass KZZ vor KKZ erscheint:
    1/4 (
p
(
KK
) +
p
(
KZ
) +
p
(
ZK
) +
p
(
ZZ
)) = 1/3
    Damit haben wir das Nötige kapiert. Die gesamte Tabelle aller Zweikämpfe zwischen Blöcken erfordert nur noch eine enorme Fleißarbeit, aber kein zusätzliches intellektuelles