Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

hat Seiten mit Augenzahlen 2, 2, 2, 11, 11, 14. Der Kunstgriff besteht darin, diese Tatsache zu repräsentieren als die Funktion
    A
(
x
) =
x
2 +
x
2 +
x
2 +
x
11 +
x
11 +
x
14 = 3
x
2 + 2
x
11 +
x
14 .
    Das ist die Primärformel zur Bearbeitung all unser Schwierigkeiten auf diesem Sektor. Die Augenzahlen gehen also in die Hochzahl der Variablen
x
ein. Und eine jede Seite des Würfels mit Augenzahl k liefert uns einen Ausdruck
x
k . Entsprechend werden den Würfeln B und C die Funktionen
    B
(
x
) = 1 + 2
x
3 + 3
x
12
C
(
x
) = 3
x
+ 3
x
13
    zugeordnet. Aus diesen Funktionen lassen sich dann alle Fälle (von 36 möglichen) ermitteln, in denen ein Würfel gegen einen anderen bei einmaligem Werfen gewinnt. Lassen wir also dieWürfel A und B gegeneinander antreten. Der initiale Erkenntnispollen ist nun dieser: Der Ausdruck
x
14 in der Funktion
A
(
x
) «schlägt» alle 6 Terme (die drei
x
12 -Terme und die zwei
x
3 -Terme und den Term 1) von
B
(
x
) in einem auf der Hand liegenden Verständnis von diesem Begriff. Von den zwei Termen
x
11 in
A
(
x
) «gewinnt» jeder 3-mal gegen die Terme von
B
(
x
) und von den drei Termen
x
2 in
A
(
x
) «gewinnt» jeder einmal, und zwar nur gegen den konstanten Term 1 von
B
(
x
). Das sind insgesamt 1 × 6 + 2 × 3 + 3 × 1 = 15 Fälle, in denen die Funktion
A
(
x
) gegen
B
(
x
) und entsprechend Würfel A gegen B gewinnt. Auf dieselbe Weise und zur Kontrolle ermittelt man
    3 × 5 + 2 × 3 = 21
    Fälle, in denen Würfel B gegen A gewinnt.
    Deep play.
Das war noch keine große Erleichterung gegenüber dem bodenständigen Verfahren des einfachen, buchhalterischen Abzählens. Eine beachtliche Erleichterung durch unseren jetzigen Funktionenansatz stellt sich aber bei je zweimaligem Würfelwerfen ein. Erst hier läuft er zu großer Form auf. In dieser Situation müssen wir, um die Analogie zwischen Funktionstermen und Gewinnfällen herzustellen – und das ist der zentrale Einblick–, mit den Produkten der Funktionen mit sich selbst arbeiten, also mit
A
(
x
) ×
A
(
x
),
B
(
x
) ×
B
(
x
),
C
(
x
) ×
C
(
x
). Denn dann spiegeln die Hochzahlen der Variablen x genau die möglichen Summenwerte der Augenzahlen bei zweimaligem Werfen wider. Dann addieren sich die Faktoren vor dem x zu 36 und repräsentieren die Häufigkeiten, anders gesagt, wie oft unter den 36 Möglichkeiten die jeweiligen Summenwerte auftreten. Man sehe selbst:
    A
(
x
) ×
A
(
x
) = (3
x
2 + 2
x
11 +
x
14 ) 2 = 9
x
4 + 12
x
13 + 6
x
16 + 4
x
22 + 4
x
25 +
x
28
    B
(
x
) ×
B
(
x
) = (1 + 2
x
3 + 3
x
12 ) 2 = 1 + 4
x
3 + 4
x
6 + 6
x
12 + 12
x
15 + 9
x
24
    C
(
x
) ×
C
(
x
) = (3
x
+ 3
x
13 ) 2 = 9
x
2 + 18
x
14 + 9
x
26
    Rein formal betrachtet ist für Würfel A zweimaliges Werfen nebst Summenbildung der Augenzahlen dasselbe, wie einmal mit einem 36-seitigen Würfel zu werfen, bei dem 9 Seiten die Augenzahl 4 haben, 12 Seiten die Augenzahl 13, 6 Seiten die Augenzahl 16, 4 Seiten die Augenzahl 22, 4 Seiten die Augenzahl 25 und eine Seite die Augenzahl 28. Das zeigt eine Überlegung, wird aber viel einfacher bei Inspektion der Funktion
A
(
x
) ×
A
(
x
) ersichtlich.
    Großartig, oder? Ein wunderbares Kreativprodukt, basierend auf nicht nur einem Geistesblitz und irgendwann einmal von jemandem unter großem intellektuellen Aufwand generiert.
    Bleiben wir aber dicht am Stoff. Nachdem Sie ihn bis hierher verstanden haben, dürfte der Rest ein Picknick in Piräus sein. Eine Abzählung der Gewinnfälle für Würfel A gegen B bei zweimaligem Werfen ergibt sich aus obigen Funktionen mit der bei einmaligem Werfen bereits verwendeten Einsicht. Es sind
    1 × 36 + 4 × 36 + 4 × 27 + 6 × 27 + 12 × 15 + 9 × 5 = 675
    Gewinnfälle für A. Gewinnfälle für B gibt es
    9 × 31 + 12 × 21 + 6 × 9 + 4 × 9 + 4 × 0 + 1 × 0 = 621.
    Ein dreifaches Hoch auf Knappheit, Schläue und Präzision des Funktionenansatzes.
    Wer hier mit Leidenschaft weiterdenken mag, könnte erkunden, was passiert, wenn die Würfel A, B, C mit ihren Augensummen bei dreimaligem Werfen gegeneinander antreten. Das sei hier nicht verraten. Warum Spannung und Nervenkitzel rauben?
    Zu guter Letzt lenken wir unser Augenmerk auf ein possierliches Spielchen, mit dem Sie Ihren Lieblingsfeind um ein hübsches Sümmchen erleichtern können. Erfunden wurde es von Walter Penney und trägt zu seinen Ehren den Namen
Penneyante
. Es ist ein Münzspiel für zwei Personen; alles, was man dazu braucht, ist eine symmetrische Münze. Spieler 1 wählt ein Tripel aus der Menge der 8