Das neue Haus vom Nikolaus

Aufgabe.
    Alle Sehnen gleicher Länge haben vom Kreismittelpunkt natürlich den gleichen Abstand. Stellen wir uns jetzt einfach einen kleinen Kreis vor, dessen Radius gerade diesem Abstand entspricht und dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des größeren Kreises zusammenfällt. Dann sind alle Sehnen der passenden Länge Tangenten an diesen kleinen Kreis, und der kleine Kreis ist der Inkreis jeden Dreiecks, welches aus drei solchen passenden, gleich langen Sehnen an deren Schnittpunkten entsteht. Da der Mittelpunkt dieses Inkreises mit dem Mittelpunkt des großen Kreises identisch ist, befindet sich die Krippe innerhalb des Dreiecks.
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23 Lichterkette
    Die Lichterkette suggeriert ja beinahe, dass man Hölzchen so verschieben soll, dass die Ziffern 7 bzw. 0 entstehen und man daraus irgendwie die Lösung konstruiert. Jedoch leitet sie einen damit völlig in die Irre. 10 201 = 101 × 101 , das ist die Primfaktorzerlegung der Anzahl der verschiedenen Teiler jener Zahl, die Sie legen sollten. Das bedeutet zugleich, dass die Zahl nur zwei unterschiedliche Primteiler besitzt, die beide jeweils 10 0-mal vorkommen. Warum? In einem Teiler einer Zahl kann jeder ihrer Primteiler maximal so oft vorkommen, wie er in der Zahl selbst vorkommt, er kann in einem Teiler aber auch gar nicht vorkommen. Und das gilt für jeden ihrer Primteiler unabhängig voneinander. Die Anzahl der verschiedenen Teiler einer Zahl erhält man also, wenn man die um eins vermehrten Vorkommen jedes ihrer Primteiler miteinander multipliziert. Um eins vermehrt deswegen, weil der Primteiler in einem speziellen Teiler auch 0-mal vorkommen kann. Bei der gesuchten Zahl handelt es sich also um eine Zahl der Form (p 1 × p 2 ) 100 , p 1 und p 2 sind zweiverschiedene Primzahlen. Egal, wie viel Mühe Sie sich geben, die sieben Hölzchen, die Sie umlegen dürfen, werden nicht ausreichen, einen notwendigen Exponenten von 100, 50, 25, 20 oder 10 zu legen und dabei auch noch den Rest der Lichterkette in eine sinnvolle, genügend lange Ziffernfolge zu verwandeln. Tatsächlich werden Sie es nicht einmal schaffen, auch nur einen dieser Exponenten zu legen. Aber vermutlich haben Sie schon einmal etwas von dem Zahlwort Googol gehört, welches für die Zahl 10 100 steht. 10 100 erfüllt genau die Bedingung mit der Anzahl der Teiler, und das Wort GOOGOL lässt sich in Großbuchstaben durch das Verschieben von Streichhölzern tatsächlich legen. Nur zu dumm, dass man dazu acht Streichhölzer umlegen muss. Wenn wir jedoch die Seite auf den Kopf stellen, dann genügen sieben Streichhölzer, um daraus das Wort Googol zu legen, wenn man die farbig markierten Hölzchen wie folgt umlegt:

    wird zu

    Dass Sie dabei auch noch eine Zahl in Ziffernform erhalten, dürfen Sie getrost ignorieren.
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25 Für ein paar Pfefferkuchen mehr
    Diese Aufgabe ist eine der schönsten Aufgaben in dieser Sammlung überhaupt, denn eine sehr simple Überlegung ist der Schlüssel zur Lösung. Wenn Sie auf diese jedoch nicht kommen, werden Sie es sehr schwerhaben, die Aufgabe zu lösen. Die Zahl 210 verleitet natürlich dazu, eine quaderförmige Anordnung der Lebkuchen anzunehmen, doch dieser Versuch wird leider zu keinerLösung der Aufgabe führen. Immerhin, wenn Sie in Quadern denken, haben Sie wenigstens schon einen kleinen Schritt in Richtung Lösung unternommen, denn dann denken Sie in geometrischen Körpern. Wenn Sie aber einen Körper suchen, der bei gegebenem Volumen garantiert, dass die maximale Entfernung zweier beliebiger Punkte in diesem Körper minimal ist, dann ist dies die Kugel und ganz gewiss kein Würfel oder anderer Quader. Und 210   Lebkuchen, jeder mit 70   cm 3 , das ist doch sehr wohl ein gegebenes Volumen. Es ist zwar schlechthin unmöglich, aus Lebkuchen eine perfekte Kugel zu legen. Das ist aber auch gar nicht nötig. Eine ganz grobe Annäherung an eine Kugel ist immer noch besser als ein Quader. Da wir ziemlich viele Lebkuchen haben, ist es durchaus möglich, eine zumindest sehr grobe Annäherung zu legen. Entscheidend für eine solche Annäherung ist, dass, wenn wir unsere Lebkuchen schichtenförmig übereinandersetzen, die oberen Schichten gegenüber den darunterliegenden Schichten flächenmäßig abnehmen, genau so, wie wenn wir eine Kugel von oben nach unten in Scheiben schneiden würden. Wir beginnen mit einer ebenen, rechteckigen Schicht Pfefferkuchen, die aus 3 × 4 Pfefferkuchen besteht