Das neue Haus vom Nikolaus

und 28   cm breit sowie 30   cm lang sein soll:

    Der größte Abstand zweier Pfefferkuchen wird durch die diagonale Linie ersichtlich und lässt sich einfach nach dem Satz des Pythagoras berechnen:
     
    d 1 =√ 14 2 + 10 2 cm = √ 296 cm
     
    Nun legen wir 13 solche Schichten der 1   cm dicken Pfefferkuchen deckungsgleich übereinander. Der größte Abstand zweier Pfefferkuchen ist nun jener zwischen dem weißen Kreuz, welches wir an der Ecke auf der Oberseite des entsprechenden Eck-Lebkuchens der untersten Schicht annehmen, und dem dunklen Punkt, den wir analog an der Ecke auf der Unterseite des diagonal gegenüberliegenden Eck-Lebkuchens der obersten Schicht annehmen. Das weiße Kreuz und der dunkle Punkt haben damit eine Höhendifferenz von 11   cm .
    Den Abstand zwischen beiden Punkten kann man wieder nach Pythagoras berechnen, und er ergibt sich zu
     
    d 2 = √ 14 2 + 10 2 + 11 2 cm = √ 417 cm
     
    was ganz sicherlich weniger als 21   cm ist, denn 21 2 = 441 . In diesen 13   Schichten haben wir 156 der 210   Pfefferkuchen untergebracht. Würden wir eine 14. solche Schicht aufbringen, dann hätten wir bereits einen Maximalabstand zwischen den Pfefferkuchen von √ 440 cm und wären nur um Haaresbreite von den 21   cm entfernt, hätten aber dennoch erst 168   Pfefferkuchen untergebracht und würden mit den restlichen 42   Lebkuchen sicherlich die 2 1-cm -Grenze durchbrechen. Deshalb beginnen wir nun damit, kleinere Schichten aufzutragen. Und zwar wie folgt:

    Auf die 13 unteren Lebkuchenschichten legen wir drei weitere Schichten zu je neun Lebkuchen wie in der Grafik. Die vertikalen Ränder der oberen Lebkuchenschichten verlaufen dabei jeweils genau über den Mitten der Lebkuchen der unteren Schichten, während sich die horizontalen Ränder beider Schichten decken. Damit haben wir 183   Lebkuchen verbaut. Wie groß ist nun der Maximalabstand zwischen den Lebkuchen der unteren 13   Schichten und den Lebkuchen der drei oberen Schichten? Wenn sich der helle Punkt auf der Unterseite des obersten Ecklebkuchens und der dunkle Punkt auf der Oberseite des untersten Ecklebkuchens befinden, dann ist der Abstand dieser beiden Punkte unser Maximalabstand d 3 zwischen Lebkuchen der drei oberen und der 13 unteren Schichten. Der Höhenunterschied beträgt 14   cm , der Abstand bezüglich der Breite 10,5   cm und bezüglich der Länge 10   cm . Also ist d 3 sogar geringfügig kleiner als d 2 . Dennoch, wir haben noch immer 27   Lebkuchen unterzubringen, und zwei weitere Schichten zu je neun Lebkuchen würden unsere Grenze von 21   cm überschreiten. Doch eine Kugel ist schließlich nicht nur oben rund, sondern sie ist es auch unten und verjüngt sich auch nach unten hin. Was passiert, wenn wir noch drei weitere Schichten zu je neun Lebkuchen genauso unter die 13 größeren Schichten setzen, wie wir sie zuvor darauf gesetzt haben? Zunächst wird der Maximalabstand zwischen Lebkuchen der drei unteren Schichten und der 13 mittleren Schichten exakt der gleiche sein wie jener zwischen den Lebkuchen der drei oberen und der 13 mittleren Schichten. Diesbezüglich liegen wir also noch innerhalb der vorgegebenen 21   cm . Was wir jedoch noch berechnen müssen, ist der maximale Abstand d 4 zwischen Lebkuchen der drei untersten und der drei obersten Schichten. Die Höhendifferenz zwischen oberstem und unterstem Lebkuchen beträgt dann 17   cm , der Abstand bezüglich der Breite 7   cm und bezüglich der Länge 10   cm . Somit ist

    d 4 = √ 17 2 + 10 2 +7 2 cm = √ 438 cm
     
    und damit sind alle 210   Lebkuchen so angeordnet, dass der maximale Abstand zwischen je zwei von ihnen weniger als 21   cm beträgt. Lothar hat deshalb eine Chance, seine Wette zu gewinnen, und Frau Honigsüß ist gut beraten, sich nicht darauf einzulassen.
    [zurück zum Text]

[zurück zum Text]
     
26 Carl Friedrichs Fleißaufgabe
    Sie haben es bestimmt erkannt. Es handelt sich um eine Abwandlung der Anekdote vom großen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der in der Schule alle Zahlen von 1 bis 100 addieren sollte, weil der Lehrer eine Zeitlang ungestört sein wollte. Damals fand der junge Gauß, dass man die einzelnen Zahlen durch geschicktes Zusammenfassen ganz leicht addieren kann. Wenn man 1 und 99, 2 und 98, 3 und 97 usw. paarweise zusammenfasst, lässt sich die Summe sehr leicht im Kopf ausrechnen. Unsere Aufgabe ist allerdings etwas komplizierter, aber sie lässt sich dennoch auf ähnliche Weise und auch ohne Taschenrechner