Das Tao der Physik

Amplitude der Welle an bestimmten Orten zu der Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an
diesen Orten zu finden, in Beziehung setzt. Bei einer weiten
Amplitude ist die Wahrscheinlichkeit groß, das Teilchen dort
zu finden, bei einer kleinen Amplitude ist sie klein. Der oben
abgebildete Wellenlinienzug zum Beispiel hat über seine ganze
Länge die gleiche Amplitude, und das Teilchen kann daher
überall entlang dieser Welle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gefunden werden.
    Die Information über den Bewegungszustand des Teilchens
ist in der Wellenlänge und der Frequenz der Welle enthalten.
Die Wellenlänge ist dem Impuls des Teilchens umgekehrt proportional, was bedeutet, daß eine Welle mit kurzer Wellenlänge (und damit hoher Frequenz) einem Teilchen mit großem
Impuls (und damit hoher Geschwindigkeit) entspricht. Die
Frequenz der Welle ist der Energie des Teilchens proportional,
eine Welle mit hoher Frequenz bedeutet, daß das Teilchen eine
hohe Energie hat. Violettes Licht zum Beispiel hat eine hohe
Frequenz und eine kurze Wellenlänge und besteht daher aus
Photonen von hoher Energie und mit großem Impuls, wohingegen die Photonen des roten Lichtes mit seiner niedrigeren
Frequenz und längeren Wellenlänge eine geringere Energie
und einen kleineren Impuls aufweisen.
    Eine Welle, die sich wie in unserem Beispiel ausbreitet, sagt
uns nicht viel über den Ort des entsprechenden Teilchens. Es
kann überall entlang der Welle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gefunden werden. Wir haben es jedoch sehr oft mit Situationen zu tun, wo der Ort des Teilchens bis zu einem gewissen Grad bekannt ist, zum Beispiel bei der Beschreibung eines
Elektrons in einem Atom. In einem solchen Fall müssen die
Wahrscheinlichkeiten, das Teilchen an verschiedenen Orten zu
finden, auf einen bestimmten Raum beschränkt werden. Außerhalb dieses Raumes müssen sie gleich Null sein. Dies kann
durch eine Wellenform erreicht werden, wie sie das nachfolgende Diagramm zeigt, die einem auf das Gebiet X beschränkten Teilchen entspricht. Diese Form nennt man ein Wellenpaket.* Es setzt sich aus verschiedenen Wellenzügen mit verschiedenen Wellenlängen zusammen, die einander außerhalb
des Gebietes X durch Interferenz aufheben (vgl. S. 45), so daß
die Summe der Amplituden – und somit die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden - dort gleich Null wird, während innerhalb X die Wellenform gebildet wird. Diese Form zeigt, daß
das Teilchen sich irgendwo innerhalb des Gebietes X befindet,
läßt aber keine weitere Lokalisierung zu. Für Punkte innerhalb
des Gebietes können wir nur die Wahrscheinlichkeiten für die
Gegenwart des Teilchens angeben. (Diese Wahrscheinlichkeit
ist am größten im Zentrum, wo die Wahrscheinlichkeitsamplituden groß sind, und kleiner gegen den Rand des Wellenpakets,
wo die Amplituden klein sind.) Die Länge des Wellenpakets
gibt daher die Unsicherheit des Aufenthaltsorts des Teilchens
wieder.
    * Der Einfachheit halber behandeln wir hier nur eine Dimension des Raumes,
d. h. die Position des Teilchens irgendwo entlang einer Linie. Die auf S. 135
gezeigten Wahrscheinlichkeitsstrukturen sind zweidimensionale Beispiele,
die komplizierteren Wellenpaketen entsprechen.
Ein Wellenpaket, das einem innerhalb des Gebiets X sich befindlichen Teilchen
entspricht
    Die wichtige Eigenschaft eines solchen Wellenpakets ist, daß es
keine klar definierte Wellenlänge hat, d. h. die Abstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenkämmen sind nicht
durch die ganze Struktur gleich. Die Wellenlänge nimmt um einen Betrag zu, der von der Länge des Wellenpakets abhängt: je
kürzer das Wellenpaket, desto größer die Zunahme der Wellenlänge (zum Rand hin). Das hat nichts mit der Quantentheorie zu tun, sondern ergibt sich einfach aus den Eigenschaften
von Wellen. Wellenpakete haben keine klar definierte Wellenlänge. Die Quantentheorie kommt dann ins Spiel, wenn wir die
Wellenlänge mit dem Impuls des entsprechenden Teilchens in
Verbindung bringen. Wenn das Wellenpaket keine klar definierte Wellenlänge hat, hat das Teilchen keinen klar definierten Impuls. Das bedeutet, daß es nicht nur eine Unsicherheit
des Aufenthaltsorts des Teilchens gibt, entsprechend der Länge
des Wellenpakets, sondern auch eine Unsicherheit seines Impulses, hervorgerufen durch die Zunahme der Wellenlänge.
Die beiden Unsicherheiten hängen zusammen, weil die Zunahme der Wellenlänge (d. h. die Unsicherheit des Impulses)
von der Länge des Wellenpakets abhängt (d. h.