Der Geek-Atlas (German Edition)

Mathematiker festlegen, dass
     U die Menge der Farben der amerikanischen Flagge (rot, weiß, blau), I die Menge der Farben der italienischen Fahne (rot, weiß,
     grün) und J die Menge der Farben der japanischen Flagge (rot und weiß) ist. Die Objekte innerhalb der Menge (in diesem Fall
     die Farben) werden Elemente genannt.
    Ein Venn-Diagramm zeigt die Beziehung zwischen diesen beiden Mengen. Jede Menge wird durch einen Kreis repräsentiert, der
     die Elemente der Menge enthält. Dort wo die Mengen gemeinsame Elemente haben, überlappen sich die Kreise. Dies wird als Schnittmenge
     bezeichnet. Ein Venn-Diagramm der Mengen U und I zeigt, dass rot und weiß die gemeinsamen Farben sind ( Abbildung 47.3 ).
    Abbildung 47.3 Venn-Diagramm für U und I
    Alle Farben der amerikanischen und italienischen Fahne bilden eine weitere Menge (mit den Elementen rot, weiß, blau und grün).
     Werden zwei Mengen zusammengefasst, wird die daraus resultierende Menge Vereinigungsmenge genannt.
    Es ist auch möglich, dass eine Menge vollständig in einer anderen enthalten ist. Zum Beispiel liegt J vollständig in U, weshalb
     wir davon sprechen, dass J eine Teilmenge von U ist. Im Venn-Diagramm liegt der Kreis für J vollständig im Kreis für U ( Abbildung 47.4 ).
    Abbildung 47.4 Venn-Diagramm für U und J
    Der Begründer der Mengenlehre, der die Vorstellung von Mengen, Teilmengen, Schnittmengen und Vereinigungsmengen formal einführte,
     war der deutsche Mathematiker Georg Cantor. Cantor nutzte Mengen, um Fragen zur Unendlichkeit zu beantworten. Darauf basierend
     entwickelte er die Idee, dass es mehr als nur eine Unendlichkeit gebe, und dass einige größer seien als andere. Das war zu
     jener Zeit eine recht umstrittene Idee.
    Die Mengen U, I und J sind alle endlich, d.h., es gibt eine endliche Anzahl von Elementen (U und I haben drei Elemente, J
     zwei). Es ist aber möglich, eine Menge mit einer unendlichen Zahl von Elementen zu definieren. Beispielsweise enthält die
     Menge N alle natürlichen Zahlen (ganze Zahlen – 0, 1, 2, 3, ...). Offensichtlich gibt es davon eine unendliche Anzahl.
    Die Menge Z umfasst alle ganzen Zahlen – also die Menge N und zusätzlich alle negativen ganzen Zahlen (0, 1, −1, 2, –2, ...).
     Eine von Cantors Fragen lautete: »Gibt es mehr ganze als natürliche Zahlen?«, oder anders ausgedrückt: »gibt es mehr Elemente
     in Z als in N?«. Die Antwort ist nein – sie enthalten beide die gleiche Anzahl von Elementen.
    Um dies zu begründen, nutzen Mathematiker eine 1-zu-1-Abbildung (Bijektion). Beobachten Sie ein Kind beim Zählen von Äpfeln,
     und Sie werden sehen, dass es jeden Apfel laut abzählt (1, 2, 3 etc.), bis es zum letzten Apfel kommt. Das Kind hat eine 1-zu-1-Beziehung
     zwischen den Äpfeln und den Zahlen hergestellt: Jedem Apfel wird ein einzelne Zahl der Folge 1, 2, 3, etc. zugewiesen.
    Das gleiche kann man auch bei unendlichen Mengen durchführen. Eine Menge ist zählbar, wenn es eine 1-zu-1-Abbildung zu natürlichen
     Zahlen gibt. Wenn es eine Möglichkeit gibt, jedem Element einer Menge eine natürliche Zahl zuzuweisen, dann hat die Menge
     die gleiche Größe (die gleiche Anzahl an Elementen) wie die der natürlichen Zahlen.
    Cantors Frage zu Z wird also zu der Frage »Kann eine 1-zu-1-Beziehung zwischen Z und N hergestellt werden?« Das ist relativ
     einfach: Zuerst verbinden Sie die 0 in N mit der 0 in Z. Dann weisen Sie jeder geraden Zahl die entsprechende Zahl dividiert
     durch –2 zu: die 2 in N wird also –1 in Z zugewiesen, 4 die –2, 6 die –3, und so weiter. Das liefert uns eine 1-zu-1-Abbildung
     zwischen geraden und negativen Zahlen. Schließlich werden die ungeraden Zahlen in N einer positiven Zahl in Z zugeordnet,
     indem man 1 addiert und das Ergebnis halbiert. Die 1 in N wird also der 1 in Z zugewiesen, die 3 der 2, die 5 der 3 und so
     weiter.
    Z und N besitzen also die gleiche (wenn auch unendliche) Anzahl von Elementen. Cantors nächste Frage war: »Sind alle Mengen
     zählbar?« Die Antwort darauf lautet nein. Cantors brillantes Argument heißt »Diagonalisierung« und zeigt, dass die Menge der
     reellen Zahlen (die Menge aller Zahlen, einschließlich Brüchen und Dezimalzahlen) nicht zählbar ist.
    Nehmen wir an, es gäbe eine 1-zu-1-Abbildung zwischen N und R (der Menge der reellen Zahlen). Es wäre dann also möglich, jeder
     natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuzuordnen. Mit Cantors Diagonalisierung gibt es nun eine einfache Möglichkeit, hier den