Foundation 08: Foundation

der
Rüstungswettläufe:
    X und Y seien hier das kriegerische Verhalten von zwei
Koalitionen. Jeder Wert wird als ›Verteidigungsreaktion‹
auf den anderen wachsen. Aber das Wachstum kann auch durch
wirtschaftliche und sonstige Einschränkungen
›gedämpft‹ werden; so daß
    dX/dt = a x Y – b x X +
c x
    dY/dt = a y X – b y Y +
c y



Abbildung 7: Das Putsch-›Klima‹ läßt
sich durch eine mathematische Gleichung vorhersagen, die verschiedene
interne Faktoren des jeweiligen Landes miteinander in Verbindung
bringt. Die Trefferzahl (rechts am Rand) ist die gewichtete Summe der
abgebrochenen, versuchten und der erfolgreichen Putsche.

Wenn man ›Ausgaben für Waffen‹ als
eine erste Näherung X und Y benutzt, so meldete Richardson eine
gute Übereinstimmung mit den Rüstungswettläufen, die
dem Ersten ebenso wie dem Zweiten Weltkrieg vorangingen (Abb. 8). Der
Stabilitätspunkt dieses Systems ist (sofern er existiert)
    dX/dt = dY/dt = 0,
    ein bilaterales Einfrieren. Man beachte jedoch, daß ein
solches Einfrieren dem System keineswegs an jedem willkürlich
gewählten Punkt (X/Y) aufgezwungen werden kann. Er ergibt sich
vielmehr auf natürliche Weise an einem ganz bestimmten Punkt,
der durch die Werte der Parameter a, b und c bestimmt ist. *
    In seinem Buch Looking at History through Mathematics zeigte der Pionier der Psychohistorik Nicholas Rashevsky, wie man
historische Prozesse wie die Bildung von Dörfern oder Klassen im Prinzip mit mathematischen Techniken als ›Kinematik
des sozialen Verhaltens‹ erklären konnte. Transformations: Mathematical Approaches to Cultural Change, herausgegeben von dem Archäologen Colin Renfrew und dem
Mathematiker Kenneth Cook, liefert viele weitere Beispiele, darunter
auch den Einsatz der topologischen Katastrophen-Theorie, ein Thema,
auf das wir weiter unten noch einmal zurückkommen.



Abbildung 8: Richardsons Modell sagt eine lineare Beziehung
zwischen den für Bewaffnung ausgegebenen Beträgen und dem
jährlichen Zuwachs jener Beträge voraus. Die Daten vor dem
Ersten Weltkrieg bestätigen diese Vorhersagen.

Betrachten wir einige weitere Modellbeispiele:
     
    1. Ökozonen. Der Historiker Colin McEvedy hat eine
graphische Technik für die Identifikation von Ökozonen entwickelt: Regionen, die für bestimmte Lebensweisen
›attraktiv‹ sind. Er hat die
›Küsten-Ökozone‹ im Mittelmeer
folgendermaßen definiert: Man lege zuerst ein feines Gitter
über die Landkarte und definiere Küstenquadrate, die ein
Küstensegment enthalten. Dann färbe man jene Landquadrate
ein, deren Nachbarquadrate überwiegend Küstengebiete sind.
Damit werden Orte identifiziert, deren Küstenverbindungen
gegenüber ihren Binnenverbindungen überwiegen, und die
demzufolge für seefahrende Gesellschaften wie die Griechen, die
Karthager, die Venezianer oder die Byzantiner besonders attraktiv
sein werden. Das Ökozonen-Konzept erklärt
möglicherweise, weshalb sich bestimmte Ausprägungen im
Lebensstil und den Gebräuchen nicht weiter ausbreiten, selbst
wenn sie nicht durch geographische Barrieren behindert werden. So
entspricht beispielsweise die Verteilung der durch irische
Mönche im Mittelalter gegründeter Klöster auf dem
Festland fast exakt jener der antiken keltischen Hallstatt-Kultur
– Zufall oder Ökozone?

2. Siedlungsbildung. Gibt es einen allgemeingültigen Prozeß, der die Platzwahl von
Siedlungen erklärt? Wenn ja, so erfahren wir daraus vielleicht
etwas über den Erfolg geplanter lunarer oder orbitaler Kolonien.
Robert Rosen hat dieses Problem studiert; ausgehend von einer
abstrakten Landschaft und einer Funktion a, welche die
Bevölkerungsdichte in jeder Koordinate definiert, postulierte er
das Wirken zweier ›Kräfte‹: 1) eine Vorliebe für
Standorte mit geringerer Bevölkerungsdichte, und 2) eine
Affinität (p) für Standorte, die positive Verstärkung
versprechen (wie Zugang zu fruchtbarem Boden, Broadway-Theater oder
interstellaren Wurmlöchern). McEvedys Ökozonen sind
Beispiele für Affinitäts-Funktionen. Diese beiden
Kräfte definieren Gradienten in der Landschaft, wobei die eine
dazu tendiert, die Bevölkerung um ›attraktive‹
Standorte zu sammeln, während die andere dazu tendiert, die
Bevölkerung gleichmäßig in einer Art
zivilisatorischem ›Hitzetod‹ zu verteilen. In Verbindung
mit dem Geburts-Tod-Prozeß, erzeugen die Annahmen dieselbe
Formel, die sonst einen chemischen Diffusions-Reaktionsprozeß
beschreibt, nämlich:
    *
    Ist es nicht faszinierend,