Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Spiel mit dem MIU-System stoße ich auf einen S ATZ x , und du auf x U . Kannst du dich dazu zwingen, dir das vorzustellen?
    Frl. Klug: Natürlich. Tatsächlich sind MI sowohl als auch MIU S ÄTZE .
    Frl. Unklug: Beunruhigt dich das nicht?
    Frl. Klug: Natürlich nicht. Dein Beispiel ist lachhaft, da MI und MIU nicht KONTRADIKTORISCH sind, wogegen zwei Ketten x und ~x in der Aussagenlogik kontradiktorisch SIND .
    Frl. Unklug: Nun ja, vorausgesetzt, daß du „~“ als „nicht“ interpretierst. Aber was bringt dich zu der Meinung, daß „~“ als „nicht“ zu interpretieren sei?
    Frl. Klug: Die Regeln selbst. Wenn du sie dir anschaust, merkst du, daß die einzige denkbare Interpretation für „~“ „nicht“ ist — und ebenso die einzige denkbare Interpretation für „ ∧“ „und“ ist, usw.
    Frl. Unklug: Mit anderen Worten, du bist überzeugt, daß die Regeln die Bedeutung dieser Wörter bergen?
    Frl. Klug: Gewiß.
    Frl. Unklug: Und doch bist du noch immer gewillt, daran festzuhalten, daß sowohl x wie auch ~x S ÄTZE sein könnten? Warum nicht auch behaupten Igel seien Frösche, oder 1 sei gleich 2, oder daß der Mond aus grünem Käse gemacht sei? Ich jedenfalls bin nicht bereit, auch nur in Betracht zu ziehen, daß solche grundlegenden Bestandteile meiner Denkprozesse falsch sind — behauptete ich das, so müßte ich auch erwägen, ob meine Methoden, das gesamte Problem zu analysieren, ebenfalls falsch sind, und ich würde in vollständiger Verwirrung landen.
    Frl. Klug: Deine Argumente sind stark ... Und doch möchte ich einen Beweis sehen, daß alle S ÄTZE sich als wahr erweisen oder daß x und ~ x nie gleichzeitig S ÄTZE sein können.
    Frl. Unklug: Du willst einen Beweis: Das heißt, nehme ich an, daß du stärker von der Widerspruchsfreiheit der Aussagenlogik überzeugt sein willst, als von deinem eigenen Verstand. Jeder Beweis, der mir einfällt, würde Denkarbeit von größerer Komplexität erfordern als irgendetwas in der Aussagenlogik selbst. Was wäre also bewiesen? Dein Wunsch nach einem Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Aussagenlogik erinnert mich an jemand, der Deutsch lernt und darauf besteht, daß man ihm ein Wörterbuch gibt, in dem alle einfachen Wörter durch kompliziertere definiert sind ...
Noch einmal der Carroll-Dialog
    Diese kleine Debatte zeigt, wie schwierig es ist, Logik und folgerichtiges Denken sich selbst verteidigen zu lassen. Zu einem bestimmten Augenblick hat man den absolut tiefsten Punkt erreicht und dagegen gibt es keine Verteidigung — ausgenommen den lauten Schrei: „Ich weiß, daß ich recht habe“. Wiederum sehen wir uns dem Problem gegenüber, das Lewis Carroll so scharf in seinem Dialog herausgearbeitet hat: Man kann seine Muster folgerichtigen Denkens nicht ewig verteidigen. Es kommt ein Punkt, an dem der Glaube die Zügel übernimmt.
    Ein System folgerichtigen Denkens läßt sich mit einem Ei vergleichen. Ein Ei hat eine Schale, die das Innere schützt. Wenn man es aber irgendwo hinschicken will, verläßt man sich nicht auf die Schale — man verpackt es in einen Behälter, den man danach auswählt, wie rauh man die Reise des Eis einschätzt. Will man besonders vorsichtig sein, legt man das Ei vielleicht in mehrere ineinander gebettete Schachteln. Aber in wieviel Schachteln man das Ei auch verpackt — man kann sich immer eine Katastrophe denken, die es zerbrechen könnte. Das heißt aber nicht, daß man es nie riskiert, ein Ei zu transportieren. In ähnlicher Weise kann man niemals einen endgültig absoluten Beweis antreten, daß ein Beweis in einem System korrekt ist. Natürlich kann man einen Beweis des Beweises, oder des Beweises eines Beweises eines Beweises geben — aber die Gültigkeit des äußersten Systems bleibt immer eine unbewiesene Annahme, die man in gutem Glauben akzeptiert. Man kann sich immer vorstellen, daß eine ungeahnte subtile Eigenschaft Stufe um Stufe des Beweises bis zum tiefsten Punkt ungültig macht und das „bewiesene“ Ergebnis sich dann schließlich als inkorrekt herausstellt. Das aber bedeutet nicht, daß Mathematiker und Logiker ständig bangen müssen, daß das ganze Gebäude der Mathematik falsch sei. Wenn andererseits unorthodoxe oder äußerst lange oder von Computern erzeugte Beweise vorgelegt werden, dann halten Menschen inne, um ein bißchen darüber nachzudenken, was sie unter dem beinahe heiligen Wort „bewiesen“ verstehen.
    Eine vortreffliche Übung für den Leser wäre es an diesem Punkt, zum