Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Sc )
Transitivität
15)
∀d :( d + SSc )=( Sd + Sc )
Generalisierungsregel
16)
]
pop
17)
< ∀d :( d + Sc )=( Sd + c )⊃ ∀d :( d + SSc )=( Sd + Sc )>
Fantasieregel
18)
∀c :< ∀d :( d + Sc )=( Sd + c )⊃ ∀d :( d + SSc )=( Sd + Sc )>  
Generalisierungsregel
 
* * * * *
 
19)
( d + S0 )= S ( d + 0 )
Spezialisierungsregel (Zeile 2)
20)
∀a :( a + 0 )= a
Axiom 1
21)
( d + 0 )= d
Spezialisierungsregel
22)
S ( d + 0 )= Sd
S anfügen
23)
( d + S0 )= Sd
Transitivität (Zeilen 19, 22)
24)
( Sd + 0 )= Sd
Spezialisierungsregel (Zeile 20)
25)
Sd =( Sd + 0 )
Symmetrie
26)
( d + S0 )=( Sd + 0 )
Transitivität (Zeilen 23, 25)
27)
∀d :( d + S0 )=( Sd + 0 )
Generalisierungsregel
 
* * * * *
 
28)
∀c : ∀d :( d + Sc )=( Sd + c )
Induktionsregel (Zeilen 18, 27)
    [ S kann in einer Addition hin- und hergeschoben werden.]
0)
0000000000000000000000000000000000
000000000
* * * * *
 
29)
∀b :( c + Sb )= S ( c + b )
Spezialisierungsregel (Zeile 1)
30)
( c + Sd )= S ( c + d )
Spezialisierungsregel
31)
∀b :( d + Sb )= S ( d + b )
Spezialisierungsregel (Zeile 1)
32)
( d + Sc )= S ( d + c )
Spezialisierungsregel
33)
S ( d + c )=( d + Sc )
Symmetrie
34)
∀d :( d + Sc )=( Sd + c )
Spezialisierungsregel (Zeile 28)
35)
( d + Sc )=( Sd + c )
Spezialisierungsregel
36)
[
push
37)
∀c :( c + d )=( d + c )
Voraussetzung
38)
( c + d )=( d + c )
Spezialisierungsregel
39)
S ( c + d )= S ( d + c )
S hinzufügen
40)
( c + Sd )= S ( c + d )
Übernahme von 30
41)
( c + Sd )= S ( d + c )
Transitivität
42)
S ( d + c )=( d + Sc )
Übernahme von 33
43)
( c + Sd )=( d + Sc )
Transitivität
44)
( d + Sc )=( Sd + c )
Übernahme von 35
45)
( c + Sd )=( Sd + c )
Transitivität
46)
∀c :( c + Sd )=( Sd + c )
Generalisierungsregel
47)
]
pop
48)
< ∀c :( c + d )=( d + c )⊃ ∀c :( c + Sd )=( Sd + c )>
Fantasieregel
49)
∀d :< ∀c :( c + d )=( d + c )⊃ ∀c :( c + Sd )=( Sd + c )>
Generalisierungsregel
    [Wenn d mit jedem c kommutativ ist, dann ist dies auch Sd .]
0)
0000000000000000000000000000000000
000000000
* * * * *
 
50)
( c + 0 )= c
Spezialisierungsregel (Zeile 20)
51)
∀a :( 0 + a )= a
vorhergehender S ATZ
52)
( 0 + c )= c
Spezialisierungsregel
53)
c =( 0 + c )
Symmetrie
54)
( c + 0 )=( 0 + c )
Transitivität (Zeilen 50, 53)
55)
∀c :( c + 0 )=( 0 + c )
Generalisierungsregel
    [ 0 kommutiert mit jedem c .]
0)
0000000000000000000000000000000000
000000000
* * * * *
 
56)
∀d : ∀c :( c + d )=( d + c )
Induktionsregel (Zeilen 49, 55)
    [Deshalb kommutiert jedes d mit jedem c ]
Spannung und Auflösung in TNT
    TNT hat die Kommutativität der Addition bewiesen. Auch wenn der Leser dieser Ableitung im einzelnen nicht gefolgt ist, ist es wichtig zu erkennen, daß sie, wie ein Musikstück, ihren eigenen natürlichen „Rhythmus“ hat. Sie ist nicht einfach ein zielloser Spaziergang, der zufällig zur erwünschten letzten Zeile führte. Ich habe „Atemzeichen“ eingefügt, um etwas von der „Phrasierung“ erkennen zu lassen. Zeile 28 insbesondere bildet einen Wendepunkt in der Ableitung, etwa wie die Mitte eines Stücks vom Typus AABB, wo man vorübergehend auflöst, wenn auch nicht in der Tonika. Solche wichtigen Zwischenstadien nennt man oft „Lemmata“.
    Man kann sich ohne weiteres einen Leser vorstellen, der, ohne zu wissen, wann es enden wird, mit Zeile 1 dieser Ableitung beginnt und allmählich mit jeder neuen Zeile eine Ahnung von seinem Ziel bekommt. Das würde eine innere Spannung erzeugen, nicht unähnlich der in einem Musikstück, wo sie durch Akkordfolgen verursacht wird, die, ohne sie aufzulösen, die Tonart anzeigen. Die Ankunft bei Zeile 28 würde die Intuition des Lesers bestätigen, ihm ein momentanes Gefühl der Zufriedenheit vermitteln und ihn zugleich antreiben, in Richtung auf sein vermutetes eigentliches Ziel weiterzugehen.
    Zeile 49 nun verstärkt wegen des Gefühls, fast am Ziel angekommen zu sein, die Spannung entscheidend. Es wäre äußerst unbefriedigend, hier abzubrechen! Von hier an läßt sich beinahe voraussagen, wie die Dinge weiter laufen müssen, aber man möchte ja nicht, daß ein Musikstück gerade dann abbricht, wenn klar geworden ist, wie es aufgelöst werden wird. Man will sich das Ende nicht vorstellen, sondern es hören. Ebenso müssen wir hier die Dinge bis zum Ende verfolgen. Zeile 55 ist unvermeidlich und schafft die letzten Spannungen, die in Zeile 56 aufgelöst werden.
    Die ist nicht nur für die Struktur formaler Ableitungen typisch sondern auch für diejenige informaler Beweise. Der