Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Sinn des Mathematikers für Spannung hängt eng mit seinem Sinn für Schönheit zusammen, und diese macht die Mathematik der Mühe wert. Man beachte jedoch, daß es in TNT selbst keine Widerspiegelung dieser Spannung zu geben scheint. In anderen Worten, TNT formalisiert nicht die Begriffe vonSpannung und Auflösung, Ziel und Zwischenziel, „Natürlichkeit“ und „Unvermeidlichkeit“, genau so wenig wie ein Musikstück ein Buch über Harmonie und Rhythmus ist. Könnte man ein viel reicheres typographisches System entwickeln, das sich der Spannungen und Ziele innerhalb der Ableitungen bewußt ist?
Folgerichtiges Denken: formal und informell
    Ich hätte es vorgezogen, zu zeigen, wie man Euklids Satz (die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen) in TNT ableiten kann, aber das hätte den Umfang des Buches vermutlich verdoppelt. Nach diesem Satz wäre es nun folgerichtig, die Assoziativität der Addition, die Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation und die Distributivität der Multiplikation im Hinblick auf die Addition zu beweisen. Das wäre eine mächtige Grundlage für die weitere Arbeit.
    So, wie sie jetzt formuliert ist, hat TNT die „kritische Masse“ erreicht (vielleicht eine seltsame Metapher für etwas, das „TNT“ heißt). Sie ist gleich stark wie das System der Principia Mathematica; man kann jetzt in TNT jeden S ATZ beweisen, der sich in einem Standard-Lehrbuch der Zahlentheorie findet. Natürlich wird niemand behaupten, daß die beste Methode, Zahlentheorie zu treiben, die ist, S ÄTZE in TNT abzuleiten. Wer immer dazu neigt, gehört zu den Leuten, die glauben, die beste Art herauszufinden, wieviel 1000 x 1000 ergibt, sei die, ein Gitter von 1000 mal 1000 Einheiten zu zeichnen und dann alle Quadrate darin zu zählen ... Nein, nach der totalen Formalisierung geht der einzige Weg in Richtung der Lockerung des formalen Systems. Sonst ist es so ungeheuer unhandlich, daß es für alle praktischen Zwecke nutzlos ist. Deshalb ist es wichtig, TNT in einen weiteren Zusammenhang einzubetten, einen Zusammenhang, der die Erzeugung neuer Schlußregeln ermöglicht, um so die Ableitungen zu beschleunigen.
    Das würde die Formalisierung der Sprache bedingen, in der die Schlußregeln ausgedrückt sind, das heißt der Metasprache. Und man könnte noch sehr viel weiter gehen. Keiner dieser Tricks zur Beschleunigung jedoch würde TNT mächtiger machen, sondern lediglich handlicher. Die einfache Tatsache ist die, daß wir in TNT jenen Denktypus, auf den sich die Zahlentheoretiker verlassen, eingebracht haben. Wenn wir TNT in immer größere Zusammenhänge einbetten, vergrößern wir die Reichweite der S ÄTZE nicht, sondern bewirken lediglich, daß die Arbeit in TNT — oder in jeder "neuen, verbesserten Auflage“ — immer mehr der Arbeit in der konventionellen Zahlentheorie ähnelt.
Zahlentheoretiker geben ihr Geschäft auf
    Angenommen, man wüßte nicht von vornherein, daß TNT sich als unvollständig erwiese, sondern erwartete vielmehr, daß sie vollständig sei, d. h. daß jede wahre Aussage die sich in TNT ausdrücken läßt, ein S ATZ sei. In diesem Fall ließe sich für die gesamte Zahlentheorie ein Entscheidungsverfahren aufstellen. Das wäre leicht: Wennman wissen will, ob die N-Aussage x wahr oder falsch ist, codiert man sie in die TNT-Formel x. Wenn x nun wahr ist, besagt die Erfordernis der Vollständigkeit, daß x ein S ATZ ist, und umgekehrt, wenn nicht- x wahr ist, dann besagt sie, daß ~x ein S ATZ ist. Also muß entweder x oder ~x ein S ATZ sein, da entweder x oder nicht- x wahr ist. Fangen wir nun damit an, daß wir systematisch alle S ÄTZE in TNT aufzählen, wie wir es im Fall des MIU-Systems und des pg-Systems getan haben. Nach einer gewissen Zeit kommt man auf x oder ~ x, und auf welches man stößt, sagt einem, ob x oder nicht- x wahr ist. (Haben Sie dieses Argument verstanden? Das hängt entscheidend davon ab, daß Sie in Ihrem Denken das formale System TNT und sein informales Gegenstück N auseinanderhalten können: vergewissern Sie sich, daß Sie das wirklich verstehen!) Im Prinzip müßten daher, wäre TNT vollständig, die Zahlentheoretiker ihren Laden schließen: Jede Frage in ihrem Bereich könnte — wenn man genügend Zeit hätte auf rein mechanische Weise gelöst werden. Das erweist sich als unmöglich, und je nach Gesichtspunkt ist das Anlaß zu Freude oder zu Trauer.
Hilberts Programm
    Die abschließende Frage, die wir in diesem Kapitel aufgreifen wollen, ist die, ob wir