Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Titel: Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Douglas R. Hofstadter

Vom Netzwerk:

nicht tun. In beiden Fällen könnte eine endliche Suche die Antwort „nein“ ergeben. Aber ich weiß nicht, ob so etwas bewiesen werden kann oder nicht. Unendliche Räume zu durchforschen ist immer eine gewagte Sache, wissen Sie.
    Achilles: So wie die Dinge stehen, ist also kein Test für die Schildkröten-Eigenschaft bekannt, der garantiert ein Ende fände — und doch KÖNNTE es so etwas geben.
    Schildkröte: Richtig. Ich nehme an, man könnte sich auf eine Suche nach einer solchen Suche einlassen; aber ich kann auch nicht garantieren, daß diese „Meta-Suche“ ein Ende fände.
    Achilles: Wissen Sie, es kommt mir sehr merkwürdig vor, daß, wenn eine gerade Zahl — zum Beispiel eine Billion — die Schildkröten-Eigenschaft nicht besitzt, das von einer unendlichen Anzahl einzelner Informationsbröckchen herrührt. Es ist spaßig, sich vorzustellen, daß man all diese Information in ein Bündel zusammenrollt, und, wie Sie so liebenswürdigerweise vorschlugen, die „Achilles-Eigenschaft“von 1 Billion nennt. Es ist in Wirklichkeit eine Eigenschaft des Zahlensystems in seiner G ESAMTHEIT , nicht einfach der Zahl 1 Billion.
    Schildkröte: Eine interessante Bemerkung, Achilles, aber ich bleibe dabei, daß es dennoch sehr sinnvoll ist, diese Tatsache der Zahl 1 Billion anzuheften. Ich möchte vorschlagen, daß wir zur Illustration die einfache Aussage „29 ist eine Primzahl“ betrachten. Nun meint diese Aussage in Wirklichkeit, daß 2 mal 2 nicht 29 ist, und 5 mal 6 ebenfalls nicht und so fort, nicht wahr?
    Achilles: Nun ja ...
    Schildkröte: Sie sind also ganz zufrieden damit, alle solche Fakten zu sammeln und sie gebündelt der Zahl 29 anzuheften, indem sie einfach sagen: „29 ist eine Primzahl“?
    Achilles: Ja ...
    Schildkröte: Und die Anzahl der betreffenden Fakten ist wirklich unendlich, nicht wahr? Schließlich sind Tatsachen wie „4444 x 3333 ist nicht 29“ alle ein Teil davon.
    Achilles: Genau genommen, wird das stimmen. Aber wir wissen ja beide, daß man 29 nicht durch Multiplikation zweier Zahlen, beide größer als 29, erhalten kann. So ist in Wirklichkeit die Aussage „29 ist eine Primzahl“ einfach die Zusammenfassung einer ENDLICHEN Anzahl die Multiplikation betreffender Fakten.
    Schildkröte: Wenn Sie wollen, können Sie es so ausdrücken. Aber denken Sie daran, die Tatsache, daß zwei Zahlen, die größer sind als 29, kein Produkt haben können, das gleich 29 ist, schließt die gesamte Struktur des Zahlensystems ein. Sie kommen nicht über die Tatsache hinweg, Achilles, daß Sie mit dem Ausspruch „29 ist eine Primzahl“ tatsächlich eine unendliche Anzahl von Dingen sagen.
    Achilles: Vielleicht, aber mir kommt es bloß wie eine einzige Tatsache vor.
    Schildkröte: Das rührt daher, daß eine Unendlichkeit von Tatsachen in ihrem Vorwissen enthalten ist; diese sind implizit in der Art und Weise, in der man sich die Dinge vorstellt, enthalten. Man sieht keine explizite Unendlichkeit, weil sie implizit in den Bildern, die man manipuliert, festgehalten ist.
    Achilles: Da haben Sie wohl recht. Es scheint noch immer komisch, eine Eigenschaft des gesamten Zahlensystems zu bündeln und dieses Bündel dann „Primität von 29“ zu nennen.
    Schildkröte: Komisch vielleicht — aber es ist auch eine sehr bequeme Methode, die Dinge zu betrachten. Aber kehren wir zurück zu Ihrer hypothetischen Idee. Wenn, wie Sie vorschlagen, die Zahl 1 Billion die Achilles-Eigenschaft besitzt, dann erhalten Sie, welche Primzahl Sie auch dazu addieren, keine andere Primzahl. Eine solche Situation könnte durch eine unendliche Anzahl separater mathematischer „Ereignisse“ zustande kommen. Entspringen nun diese „Ereignisse“ notwendigerweise derselben Ursache? Müssen sie eine gemeinsame Ursache haben? Wenn nämlich nicht, dann hat eine Art „unendlicher Zufall“ die Tatsache geschaffen, und nicht eine dem Ganzen zugrundeliegende Regelmäßigkeit.
    Achilles: „Unendlicher Zufall“? Was die natürlichen Zahlen betrifft, ist NICHTS dem Zufall überlassen — nichts geschieht ohne ein zugrundeliegendes Muster. Nehmenwir 7, statt 1 Billion. Ich kann leichter damit umgehen, weil die Zahl kleiner ist. 7 hat die Achilles-Eigenschaft!
    Schildkröte: Sind Sie sicher?
    Achilles: Ja. Und zwar darum, weil man 9 erhält, wenn man 2 dazuzählt, und 9 ist keine Primzahl. Und wenn man zu 7 eine beliebige andere Primzahl addiert, zählt man zwei ungerade Zahlen zusammen und erhält eine gerade — also wieder keine