Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Primzahl. So ist die „Achillität“ von 7, um einen neuen Begriff zu prägen,. die Folge von genau ZWEI Ursachen — weit entfernt von irgendeinem „unendlichen Zufall“. Was meine Behauptung stützt, daß es nie einer unendlichen Anzahl von Gründen bedarf, um eine arithmetische Wahrheit zu begründen. G ÄBE es eine arithmetische Tatsache, die auf einer unendlichen Kollektion nicht zusammenhängender Zufälle beruht, dann könnte man für diese Wahrheit nie einen endlichen Beweis erhalten. Und das ist lächerlich.
    Schildkröte: Das ist eine vernünftige Ansicht, und Sie sind damit in guter Geseilschaft. Indessen ...
    Achilles: Sollte es tatsächlich jemand geben, der diese Ansicht nicht teilte? Sie mieten glauben, daß es „unendliche Zufälle“ gibt, daß inmitten der vollständigsten, harmonischsten und schönsten aller Schöpfungen, des Systems der natürlichen Zahlen, das Chaos herrscht.
    Schildkröte: Vielleicht. Haben Sie sich aber jemals Gedanken darüber gemacht, daß Chaos dieser Art ein integrierender Bestandteil von Schönheit und Harmonie sein könnte?
    Achilles: Chaos Bestandteil der Vollkommenheit? Ordnung und Chaos ergeben zusammen eine wohlgefällige Einheit? Ketzerei!
    Schildkröte: Von Ihrem Lieblingskünstler M. C. Escher weiß man, daß er einen solchen ketzerischen Standpunkt in einem seiner Bilder andeutet ... Und wenn wir schon von Chaos sprechen, so interessiert es Sie vielleicht, etwas über zwei verschiedene Kategorien des Suchens zu erfahren, die beide garantiert ein Ende finden.
    Achilles: Gewiß!
    Schildkröte: Ein Beispiel für den ersten Typ der Suche — den nicht-chaotischen Typ ist der Test, den man für die Prüfung der Goldbach-Eigenschaft braucht. Man schaut sich einfach die Primzahlen an, die kleiner sind als 2 N , und wenn gewisse Paare 2 N ergeben, dann hat 2 N die Goldbach-Eigenschaft, und sonst nicht. Ein solcher Test wird nicht nur garantiert ein Ende finden, sondern man kann auch voraussagen, WANN er ein Ende finden wird.
    Achilles: Es ist also ein VORAUSSAGBAR ENDLICHER Test. Wollen Sie mir sagen, daß die Prüfung auf irgendwelche zahlentheoretische Eigenschaften Tests ins Spiel bringt, die garantiert ein Ende finden, von denen man aber nicht im voraus wissen kann, wie lange sie dauern?
    Schildkröte: Wie prophetisch von Ihnen, Achilles! Und das Vorhandensein solcher Tests zeigt, daß im System der natürlichen Zahlen in einem gewissen Sinn Chaos innewohnt.
    Achilles: Nun, in diesem Fall würde ich sagen, daß man einfach nicht genug über den

    Abb. 71 . Ordnung und Chaos (I) , von M. C. Escher (Lithographie, 1950).
    Test weiß. Wenn man noch ein wenig nachforschte, könnte man ausrechnen, wie lange es höchstens brauchen wird, bevor er ein Ende findet. Schließlich muß für Muster von ganzen Zahlen immer ein Grund vorhanden sein. Es kann sich nicht einfach um chaotische Muster handeln, die der Voraussage trotzen.
    Schildkröte: Ich kann Ihre intuitive Zuversicht verstehen, Achilles. Aber nicht immer ist sie berechtigt. Natürlich haben Sie in vielen Fällen vollkommen recht — daraus, daß jemand etwas nicht weiß, kann man nicht den Schluß ziehen, daß man es nicht wissen kann! Es gibt aber gewisse Eigenschaften der ganzen Zahlen, von denen bewiesen ist, daß für sie endliche Tests existieren, und von denen aber auch BEWIESEN werden kann, daß es keine Möglichkeit gibt, im voraus zu sagen, wie lange sie dauern.
    Achilles: Das kann ich kaum glauben. Es hört sich so an, als ob es dem Teufel selber gelungen sei, sich einzuschleichen und in Gottes schönem Reich der natürlichen Zahlen Verwirrung zu stiften.
    Schildkröte: Vielleicht ist es ein Trost für Sie, zu wissen, daß es keineswegs leicht oder natürlich ist, eine Eigenschaft zu definieren, für die es einen endlichen, aber nicht einen VORAUSSAGBAR endlichen Test gibt. Die meisten „natürlichen“ Eigenschaften der ganzen Zahlen lassen voraussagbar endliche Tests zu. Zum Beispiel, daß eine Zahl Prim, quadratisch, eine Zehnerpotenz ist usw.
    Achilles: Ja, ich begreife, daß diese Eigenschaften auf vollkommen unkomplizierte Weise getestet werden können. Können Sie mir eine Eigenschaft nennen, für die der einzig mögliche Test endlich, aber nicht voraussagbar ist?
    Schildkröte: In meinem gegenwärtigen schläfrigen Zustand ist das zu kompliziert. Dafür will ich Ihnen eine Eigenschaft zeigen, die sehr leicht zu definieren ist, und für die doch kein endlicher Test bekannt ist. Wohlgemerkt, ich