Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

dafür, und das Problem wurde als „Goldbachsche Vermutung“ bekannt.
    Achilles: Hat man jemals ihre Richtigkeit bewiesen?
    Schildkröte: Nein, das nicht. Es gab jedoch einige bemerkenswerte Beinahe-Treffer. Zum Beispiel bewies der russische Zahlentheoretiker Schnirelmann 1931, daß jede Zahl — ob gerade oder ungerade — als die Summe von nicht mehr als 300 000 Primzahlen darstellbar ist.
    Achilles: Was für ein seltsames Ergebnis! Was soll das?
    Schildkröte: Er verschiebt das Problem in den Bereich des Endlichen. Vor Schnirelmanns Beweis war es vorstellbar, daß man, wenn man immer größere gerade Zahlen nähme, zur Repräsentierung immer mehr Primzahlen benötigte. Eine gerade Zahl könnte zu ihrer Repräsentierung eine Billion Primzahlen benötigen! Nun wissen wir, daß dem nicht so ist. Eine Summe von 300000 (oder weniger) Primzahlen wird immer ausreichen.
    Achilles: Ich verstehe.
    Schildkröte: Dann, im Jahre 1937, brachte es ein schlauer Fuchs namens Winogradoff — auch er ein Russe — fertig, etwas nachzuweisen, das dem erwünschten Ergebnis viel näher kommt: daß nämlich jede hinlänglich große UNGERADE Zahl als Summe von nicht mehr als DREI ungeraden Primzahlen dargestellt werden kann Beispiel: 1937 = 641 + 643 + 653. Wir könnten sagen, daß eine ungerade Zahl, die sich als Summe von drei ungeraden Primzahlen darsteilen läßt, die „Winogradoff-Eigenschaft“ besitzt. So haben alle hinlänglich großen ungeraden Zahlen die Winogradoff-Eigenschaft.
    Achilles: Sehr schön. Aber was heißt „hinlänglich groß“.
    Schildkröte: Es bedeutet, daß eine endliche Anzahl von ungeraden Zahlen die Winogradoff-Eigenschaft vielleicht nicht besitzt, daß es aber eine Zahl gibt — nennen wir sie v , jenseits derer alle ungeraden Zahlen die Winogradoff-Eigenschaft besitzen. Winogradoff war aber nicht imstande zu sagen, wie groß v ist. So ist v gewissermaßen wie g, die endliche, aber unbekannte Anzahl der Goldberg-Variationen. Einfach zu wissen, daß v endlich ist, ist nicht dasselbe, wie zu wissen, wie groß v ist. Diese Information würde uns also nicht sagen, wann die letzte ungerade Zahl, die zu ihrer Repräsentierung mehr als drei Primzahlen benötigt, lokalisiert werden wird.
    Achilles: Aha. Und so kann jede hinlänglich große gerade Zahl 2 N als Summe von VIER Primzahlen repräsentiert werden, indem man zuerst 2 N -3 als Summe von drei Primzahlen repräsentiert und dann die Primzahl 3 addiert.
    Schildkröte: Genau. Ein anderer Satz, der der Sache sehr nahekommt, sagt: „Alle geraden Zahlen lassen sich als Summe einer Primzahl und einer Zahl, die das Produkt von höchstens zwei Primzahlen ist, repräsentieren.“
    Achilles: Diese Frage nach der Summe von zwei Primzahlen führt einen aber in seitsame Bereiche. Wohin man wohl geriete, wenn man sich die D IFFERENZEN zweier ungerader Primzahlen ansieht? Sicher wird es zum Verständnis dieser harten Nuß beitragen, wenn ich eine kleine Tabelle von geraden Zahlen und ihrer Darstellung als Differenzen zweier ungerader Primzahlen aufsteile, genauso wie ich das für Summen getan habe. Also ...
2 = 1 5 - 3,
7 - 5,
13 - 11,
19 - 17,
usw.
4 = 1 7 - 3,
11 - 7,
17 - 13,
23 - 19,
usw.
6 = 11 - 5,
13 - 7,
17 - 11,
19 - 13,
usw.
8 = 11 - 3,
13 - 5,
19 - 11,
31 - 23,
usw.
10 = 13 - 3,
17 - 7,
23 - 13,
29 - 19,
usw.
    Meine Güte! Da gibt es anscheinend ja unendliche Möglichkeiten, diese geraden Zahlen zu repräsentieren. Und doch kann ich noch keine einfache Regelmäßigkeit in der Tabelle entdecken.
    Schildkröte: Vielleicht ist gar keine Regelmäßigkeit festzustellen.
    Achilles: Ach, Sie mit Ihrem ständigen Gebrummel über das Chaos! Mir reicht's, vielen Dank!
    Schildkröte: Glauben Sie, daß sich JEDE gerade Zahl als Differenz zweier ungerader Primzahlen darsteilen läßt?
    Achilles: Nach meiner Tabelle zu schließen, ist die Antwort offensichtlich „ja“. Aber ich nehme an, sie könnte auch „nein“ lauten. Damit kommen wir nicht viel weiter, nicht wahr?
    Schildkröte: Mit allem gebührenden Respekt — ich würde sagen, daß man tiefere Einsichten in diese Frage erlangen könnte.
    Achilles: Wunderlich, wie ähnlich dieses Problem dem ursprünglichen Goldbachschen ist. Vielleicht sollte man es „Goldbach-Variation“ nennen.
    Schildkröte: In der Tat. Aber wissen Sie, es besteht ein recht auffälliger Unterschied zwischen der Goldbach-Vermutung und dieser Goldbach-Variation, über die ich Ihnen gerne etwas sagen würde. Nehmen wir an, daß jede gerade