Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

vornherein verwerfen sollte. Im allgemeinen glauben mathematische Logiker, daß TNT — und ähnliche Systeme — ω-widerspruchsfrei sind, und daß die innerhalb eines solchen Systems konstruierbare Gödelkette unentscheidbar ist. Das bedeutet, daß man nach Wahl ihre Verneinung oder sie selbst als ein Axiom beifügen kann.
Hilberts Zehntes Problem und Herr Schildkröte
    Ich möchte dieses Kapitel damit beschließen, daß ich eine Erweiterung von Gödels Satz anführe. (Dieses Thema wird vollständiger in dem Artikel „Hilbert's Tenth Problem“ von Martin Davis und Reuben Hersh, Scientific American, Nov. 1973, behandelt.) Dazu muß ich erst definieren, was eine diophantische Gleichung ist, nämlich eine, in der ein Polynom mit festen ganzzahligen Koeffizienten und Exponenten gleich 0 angesetzt wird. Zum Beispiel sind
    a = 0
    und
    5 x + 13 y - 1 = 0
    und
    5 p 5 + 17 q 17 - 177 = 0
    und
    a 123,666,111,666 + b 123,666,111,666 - c 123,666,111,666 = 0
    diophantische Gleichungen. Im allgemeinen ist es schwierig, zu wissen, ob eine bestimmte diophantische Gleichung eine Lösung in ganzen Zahlen besitzt oder nicht. Zu Beginn dieses Jahrhunderts forderte Hilbert in einem berühmten Vortrag die Mathematiker auf, nach einem allgemeinen Algorithmus zu suchen, vermittels dessen man in einer endlichen Anzahl von Schritten entscheiden kann, ob eine bestimmte diophantische Gleichung ganzzahlige Lösungen besitzt oder nicht. Er konnte nicht ahnen, daß es einen solchen Algorithmus nicht gibt!
    Nun zu der Vereinfachung von G. Es ist gezeigt worden, daß, wann immer man eine hinlänglich leistungsfähige formale Zahlentheorie und eine Gödelnumerierung besitzt, es eine diophantische Gleichung gibt, die G äquivalent ist. Die Äquivalenz liegt in der Tatsache, daß die Gleichung, wenn auf der metamathematischen Ebene interpretiert,von sich selbst behauptet, sie habe keine Lösung. Kehren wir die Sache um. Wenn man dafür eine Lösung fände, könnte man von der Gödel-Nummer eines Beweises in dem System beweisen, daß die Gleichung keine Lösung besitzt. Das ist es, was Herr Schildkröte im Präludium tat, wobei er Fermats Gleichung als seine diophantische Gleichung benutzte. Es ist gut zu wissen, daß wenn man das tut, man die Klänge des alten Bach aus den Molekülen in der Luft wiedererlangen kann!

Geburtstagskantatatata
    An einem schönen Maitag treffen sich Theo Schildkröte und Achilles beim Wandern im Wald. Der letztere, schön herausgeputzt hüpft tänzelnd zu einer Melodie, die er vor sich hin summt. An seiner Weste trägt er einen großen bunten Button mit der Inschrift „Heute ist mein Geburtstag“.
    Schildkröte: Hallo, Achilles. Warum so fröhlich heute? Ist heute zufällig etwa Ihr Geburtstag?
    Achilles: Ja, ja! So ist es, heute ist mein Geburtstag!
    Schildkröte: Das hatte ich mir gedacht, wegen des Buttons, den sie tragen, und außerdem weil Sie, wenn ich mich nicht täusche, eine Melodie aus Bachs Geburtstagskantate singen, die er im Jahre 1727 zum 57. Geburtstag von Friedrich August von Sachsen schrieb.
    Achilles: Richtig. Und Augusts Geburtstag fällt mit meinem zusammen, und so hat DIESE Geburtstagskantate einen doppelten Sinn. Mein Alter verrate ich Ihnen jedoch nicht.
    Schildkröte: Oh, das geht in Ordnung. Etwas anderes wüßte ich jedoch schon gerne. Wäre es nach dem, was Sie bisher gesagt haben, richtig zu schließen, daß heute Ihr Geburtstag ist?
    Achilles: Ja, ja, wäre es. Heute IST mein Geburtstag.
    Schildkröte: Sehr schön. Genau wie ich vermutete. Ich WERDE deshalb jetzt schließen, daß es Ihr Geburtstag ist, wenn nicht ...
    Achilles: Wenn nicht was?
    Schildkröte: Wenn es nicht ein verfrühter oder voreiliger Schluß wäre. Schließlich haben Schildkröten zu rasche Entschlüsse nicht gern. (Wir mögen's überhaupt nicht rasch, aber schon gar nicht bei Schlüssen.) Lassen Sie mich also einfach fragen, da ich ja ganz genau weiß, daß Sie logisches Denken lieben, ob es vernünftig ist, aus den vorhergehenden Aussagen logisch zu schließen, daß heute tatsächlich Ihr Geburtstag ist.
    Achilles: Ich glaube, ich entdecke ein Muster in Ihren Fragen, Herr S. Aber anstatt nun meinerseits rasche Schlüsse zu ziehen, nehme ich Ihre Frage, so wie sie ist, und beantworte sie ohne Umschweife. Die Antwort lautet: J A .
    Schildkröte: Gut! Gut! Dann brauche ich nur noch eines zu wissen, um ganz sicher zu sein, daß heute —
    Achilles: Ja, ja, ja, ja ... Ich sehe schon, worauf Sie mit der Fragerei