Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Ihren Antworten, Antwort-Schemata und was sonst noch allem wie die Katze um den heißen Brei geschlichen. Alles was ich wissen wollte, war, ob Sie Geburtstag haben oder nicht, aber Sie haben es fertiggebracht, mich völlig zu verwirren. Nun ja, sehr schade. Auf jeden Fall aber bin ich glücklich, Ihnen gestatten zu können, mich heute abend zu einem Geburtstagsmenü einzuladen.
    Achilles: Sehr schön. Ich weiß auch schon wo. Es gibt dort eine große Auswahl köstlicher Suppen. Und ich weiß auch genau, was für eine Suppe wir essen sollten ...

KAPITEL XV
Aus dem System hinausspringen
Ein stärkeres formales System
    E IN BEDÄCHTIGER K RITIKER von Gödels Beweis könnte unter anderem den Grad der Allgemeingültigkeit prüfen. Ein solcher Kritiker könnte zum Beispiel den Verdacht hegen, daß Gödel sich einfach listigerweise eines Mangels in einem speziellen formalen System, TNT, bedient hätte. Wäre dies der Fall, dann ließe sich vielleicht ein TNT überlegenes System entwickeln, in dem Gödels Trick nicht anwendbar wäre, und Gödels Satz würde viel von seinem Biß verlieren. In diesem Kapitel werden wir nun sorgfältig die Eigenschaften von TNT prüfen, die sie gegenüber den Argumenten im letzten Kapitel verwundbar machte.
    Ein ganz natürlicher Gedanke ist dieser: Wenn die grundlegende Schwierigkeit von TNT darin besteht, daß sie ein „Loch“ enthält — mit andern Worten, eine Aussage, die unentscheidbar ist, nämlich G — warum dann nicht einfach das Loch stopfen? Warum dann nicht einfach G als sechstes Axiom an TNT anheften? Natürlich ist G verglichen mit den anderen Axiomen ein lachhaft riesiger Gigant, und das daraus resultierende System TNT+G sähe wegen der Unproportioniertheit seiner Axiome eher komisch aus. Sei es wie es wolle; die Hinzufügung von G ist ein vernünftiger Vorschlag. Nehmen wir an, er werde ausgeführt. Nun hoffen wir also, daß das neue System TNT+G ein TNT überlegenes formales System sei — eines, das nicht nur frei von übernatürlichen Zahlen ist, sondern auch vollständig. Sicher ist, daß TNT+G mindestens in einer Hinsicht TNT überlegen ist: die Kette G ist in diesem neuen System nicht mehr unentscheidbar, da sie ein S ATZ ist.
    Was war der Grund für die Verwundbarkeit von TNT? Im wesentlichen die Fähigkeit, Aussagen über sich selbst auszudrücken — im besonderen die Aussage:
    „Ich kann im formalen System TNT nicht bewiesen werden“,
    oder etwas erweitert:
    „Es gibt keine natürliche Zahl, die mit der Gödel-Nummer dieser Kette
ein TNT-Beweis-Paar bildet.“
    Liegt ein Grund zu der Erwartung oder Hoffnung vor, daß TNT+G gegenüber dem Gödelschen Beweis unverwundbar wäre? Eigentlich nicht. Unser neues System kann genau soviel ausdrücken wie TNT. Da Gödels Beweis in erster Linie auf der Ausdruckskraft eines formalen Systems beruht, sollte es uns nicht überraschen zu sehen, daß auch unser neues System zusammenbricht. Der Trick wird darin bestehen, eine Kette zu finden, die die Aussage ausdrückt:
    „Ich kann im formalen System TNT+G nicht bewiesen werden.“
    Eigentlich ist es gar kein so aufregender Trick, wenn man einmal erkannt hat, wie er in TNT ausgeführt wurde. Die gleichen Grundsätze werden angewandt; nur der Zusammenhang verschiebt sich leicht. (Bildlich gesprochen nehmen wir eine Melodie, die wir kennen, und singen sie einfach noch einmal, nur in einer höheren Tonart.) Wie oben wird die Kette, die wir suchen -- nennen wir sie „G“ — durch die Vermittlung eines „Onkels“ konstruiert. Aber anstatt auf der Formel zu basieren, die TNT-Beweispaare repräsentiert, basiert sie auf der ähnlichen, aber etwas komplizierteren Vorstellung von TNT+G-Beweispaaren. Diese Vorstellung von TNT+G-Beweispaaren ist lediglich eine geringfügige Erweiterung des ursprünglichen Begriffes des TNT-Beweispaares.
    Eine ähnliche Erweiterung ließe sich für das MIU-System ins Auge fassen. Die reine Form von MIU-Beweispaaren haben wir bereits gesehen. Wenn wir nun MU als ein zweites Axiom hinzufügten, hätten wir es mit einem neuen System zu tun — dem MIU + MU-System. Eine Ableitung in diesem erweiterten System lautet:
MU
Axiom
MUU
Regel 2
    Es gibt ein entsprechendes MIU + MU-Beweispaar, nämlich m = 30300, n = 300. Dieses Zahlenpaar bildet natürlich kein MIU-Beweispaar — sondern ein MIU + MU-Beweispaar. Die Beifügung eines zusätzlichen Axioms kompliziert die arithmetischen Eigenschaften von Beweispaaren nur wenig. Die entscheidende Tatsache — daß ein