Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

erleidet sogar dieser phantastische Fortschritt über TNT hinaus das gleiche Schicksal. Und ganz unheimlich ist, daß es im wesentlichen aus dem selben Grunde geschieht. Das Axiomenschema ist nicht stark genug, und die Gödel-Konstruktion kann wieder durchgeführt werden. Ich will dies ein bißchen ausführlicher darstellen. (Man kann das viel zwingender tun, als ich es hier tue). Wenn es eine Möglichkeit gibt, die verschiedenen Ketten G, G', G'', G''', usw. in einer einzigen typographischen Form festzuhalten, dann hat man die Möglichkeit, ihre Gödel-Nummern in einer einzigen arithmetischen Form zu beschreiben; und dieses arithmetische Porträt einer unendlichen Klasse von Zahlen kann dann innerhalb von TNT+G ω durch eine Formel OMEGA-AXIOM { a } repräsentiert werden, deren Interpretation lautet: „ a ist die Gödel-Nummer eines der Axiome, die von G ω herstammen“. Wenn a durch ein spezifisches Zahlzeichen ersetzt wird, wird die daraus entstehende Formel ein S ATZ von TNT+G ω sein, wenn, und nur wenn, das Zahlzeichen für die Gödel-Nummer eines aus dem Schema stammenden Axioms steht.
    Mit Hilfe dieser neuen Formel wird es möglich, sogar einen so komplizierten Begriff wie TNT+G ω - Beweispaare innerhalb von TNT+G ω darzustellen:
    ( TNT + G ω )- BEWEISPAAR { a , a '}
    Mit Hilfe dieser Formel können wir einen neuen „Onkel“ konstruieren, den wir nun indem uns völlig vertrauten Sinn arithmoquinieren und so noch eine unentscheidbare Kette bilden, die wir „TNT+G ω+1 nennen werden. An diesem Punkt wird man mich wohl fragen: „Warum befindet sich G ω+1 nicht unter den von dem Axiomenschema erzeugten Axiomen?“ Die Antwort ist, daß Gω nicht gewitzt genug war, seine eigene Einbettbarkeit in der Zahlentheorie vorauszusehen.
    Im Contrakrostipunktus war einer der wesentlichen Schritte bei der Herstellung einer „unspielbaren Platte“ durch Theo Schildkröte der, einen Plan des zu zerstörenden Plattenspielers zu erhalten. Notwendig war das, um herauszufinden, gegenüber welchen Arten von Schwingungen er verwundbar war und dann in die Platte Rillen einzubauen, die codiert Töne enthalten, die jene Schwingungen herbeiführen. Es besteht eine enge Parallele zu Gödels Kunstgriff, bei dem die Eigenschaften des Systems selbst innerhalb der Begriffe von Beweispaaren reflektiert und dann gegen es selbst gekehrt werden. Jedes System, und sei es noch so komplex und heikel, kann gödelisiert werden, und dann kann der Begriff des Beweispaares definiert werden und das ist der Sprengstoff, mit dem er selbst in die Luft gesprengt wird. Sobald ein System einmal wohldefiniert oder in „Schachteln“ verpackt ist, wird es verwundbar.
    Diesen Grundsatz illustriert vortrefflich Cantors Diagonalmethode, mit der sich eine ausgelassene reelle Zahl für jede wohldefinierte Liste von reellen Zahlen zwischen 0 und 1 finden läßt. Es ist der Akt der Erstellung einer expliziten Liste — einer „Schachtel“ von reellen Zahlen — der den Zusammenbruch herbeiführt. Schauen wir uns an, wie sich Cantors Trick immer von neuem wiederholen läßt. Man überlege sich, was geschieht, wenn man, ausgehend von der Liste L, das folgende tut:
1a)
Nimm Liste L und konstruiere ihre Diagonalzahl d.
1b)
Wirf d irgendwo in Liste L hinein, und stelle so eine neue Liste L + d her.
2a)
Nimm Liste L + d und konstruiere ihre Diagonalzahl d'.
2b)
Wirf d' irgendwo in Liste L + d hinein und stelle so eine neue Liste L + d + d' her.
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    Nun mag dieses schrittweise Vorgehen unbeholfen wirken, wenn man L reparieren will, denn wir hätten ja die ganze Liste d, d', d'', d''', ... sofort erzeugen können, wenn uns L vorgegeben gewesen wäre. Wer jedoch glaubt, daß uns eine solche Liste in den Stand setzen würde, die Liste der reellen Zahlen vollständig zu machen, täuscht sich gewaltig. Sobald man fragt: „Wo soll man die Liste der Diagonalzahlen innerhalb von L unterbringen?“ stellt sich das Problem. Man mag aber einen noch so teuflischen Plan aushecken, um die d-Zahlen innerhalb von L unterzubringen; wenn sie einmal aufgestellt ist, dann bietet die neue Liste noch immer Angriffsflächen. Wie oben bemerkt: es ist der Akt der Aufstellung einer expliziten Liste — eine „Schachtel“ von reellen Zahlen — der den Zusammenbruch verursacht.
    Nun ist es im Falle eines formalen Systems der Akt, ein explizites Rezept für das zu geben, was angeblich zahlentheoretische Wahrheit charakterisiert, der die Unvollständigkeitverursacht. Das ist die Crux