Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Beweispaar primitiv rekursiv ist — bleibt erhalten.
Erneute Anwendung von Gödels Methode
    Wenn wir nunmehr zu TNT+G zurückkehren, werden wir eine ähnliche Situation vorfinden. TNT+G-Beweispaare sind wie ihre Vorgänger primitiv rekursiv, werden also innerhalb von TNT+G durch eine Formel repräsentiert, die wir auf naheliegende Weise abkürzen:
    ( TNT + G )- BEWEISPAAR { a , a '}
    Nun tun wir alles einfach noch einmal. Wir bilden die Entsprechung von G, indem wir genau wie vorher mit einem „Onkel“ beginnen:
    ~ ∃a : ∃a ':<( TNT + G )- BEWEISPAAR { a , a '}∧ ARITHMOQUINE { a '', a '}>
    Sagen wir, seine Gödel-Zahl wäre u'. Nun arithmoquinieren wir eben diesen Onkel. Das ergibt G':
~ ∃a : ∃a ':<( TNT + G )- BEWEISPAAR { a , a '}∧ ARITHMOQUINE { SSS ... SSS0 / a '', a '}>
~ ∃a : ∃a ':<( TNT + G )- BEWEISPAAR { a , a '}∧ ARITHMOQUINE {
~ ∃a : ∃a ':<( TNT + G )- BEWEISPAAR { a , a '}∧ ARITHMOQUINE { SS u ' S ' s
    Seine Interpretation lautet:
    „Es gibt keine Zahl a, die mit der Arithmoquinierung von u'
    ein TNT+G-Beweispaar bildet.“
    Konziser:
    „Ich kann im formalen System TNT+G nicht bewiesen werden.“
Mehrfache Verästelung
    Nun (Gähn!), von hier an werden diese Einzelheiten recht langweilig. G' verhält sich zu TNT+G genauso wie G zu TNT selbst. Es zeigt sich, daß entweder G' oder ~G' zu TNT+G hinzugefügt werden können, und sich so eine weitere Aufspaltung der Zahlentheorie ergibt. Und damit man nicht glaube, daß dies nur den „Guten“ zustößt, kann man denselben gemeinen Streich TNT+~G spielen — d. h. auch der Nicht-Standarderweiterung von TNT, die man durch die Hinzufügung der Negation von G erhält. So sehen wir (Abb. 75); daß es in der Zahlentheorie Verästelungen aller Art gibt: Das ist natürlich nur der Anfang. Stellen wir uns vor, daß wir uns den äußersten linken Zweig dieses nach unten zeigenden Baumes hinunterbewegen, wobei wir immer die Gödel-Formeln (und nicht ihre Verneinung) hinzufügen. Mehr können wir zur Ausmerzung übernatürlicher Zahlen nicht tun. Nachdem wir G hinzugefügt haben, fügen wir G' hinzu, dann G“ und G"', usw. Jedes Mal , wenn wir eine neue Erweiterung von TNT vornehmen, erlaubt uns ihre Verwundbarkeit durch Schildkröts Methode — Verzeihung, ich meine Gödels Methode — eine Kette herzustellen, deren Interpretation lautet:
    „Ich kann im formalen System X nicht bewiesen werden.“

Abb. 75 . Mehrfache Verästelung von TNT. Jede Erweiterung von TNT hat Ihren eigenen Gödelsatz; dieser Satz oder seine Verneinung kann hinzugefügt werden, so daß aus jeder Erweiterung ein Paar zusätzlicher Erweiterungen sprießt — ein Vorgang, der ad infinitum weitergeht.
    Natürlich wird der ganze Vorgang nach einer gewissen Zeit durch und durch voraussagbar und zur bloßen Routine. Alle diese „Löcher“ sind doch mit ein und derselben Technik hergestellt worden. Das heißt, daß sie — als typographische Objekte betrachtet — alle in eine einzige Form gegossen wurden, und das bedeutet wiederum, daß ein einziges Axiomen-Schema genügt, um sie alle darzustellen. Wenn dem so ist, warum nicht alle Löcher gleichzeitig stopfen und dem ganzen widerwärtigen Geschäft der Unvollständigkeit ein für allemal den Garaus machen? Das ließe sich bewerkstelligen, indem man TNT ein Axiomenschema anstatt einfach ein Axiom nach dem anderen beifügte. Insbesondere wären diese Axiomenschemata die Formen, in denen G, G', G'', G''', usw. gegossen würden. Wenn wir das Axiomenschema — nennen wir es „G ω “ hinzufügen, würden wir die „Gödelisierung“ überlisten. Es scheint ja ganz klar zu sein, daß wenn man TNT G ω beifügt, dies der letzte Schritt wäre, der zur vollständigen Axiomatisierung aller zahlentheoretischen Wahrheiten nötig ist.
    Ungefähr an diesem Punkt im Contrakrostipunktus erzählt Theo Schildkröte von Carl Krebs' Erfindung, dem „Plattenspieler Omega“. Doch blieb der Leser über das Schicksal dieses Apparates im ungewissen, denn bevor er mit seiner Erzählung zu Ende war, erklärte der ermüdete Theo Schildkröte, daß er am besten nach Hause und schlafen gehe (aber nicht ohne zuerst noch einen hinterlistigen Hinweis auf Gödels Unvollständigkeitssatz gegeben zu haben.) Nun kommen wir endlich dazu, dieses noch freischwebende Detail zu klären ... Vielleicht haben Sie nach der Lektüre der Geburtstagskantatatata bereits eine Vorahnung.
Grundsätzliche Unvollständigkeit
    Wie der Leser wohl schon vermutet hat,