Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik (German Edition)

weltweit größten Multiplex-Kinos, doch das Präfix א 0 deutet darauf hin, dass die Firma ihr Geschäft im 31.Jahrhundert noch deutlich ausgebaut hat. א 0 (ausgesprochen als aleph-null ) ist ein mathematisches Symbol für Unendlichkeit. Der Name des Kinos bedeutet also, dass es dort eine unendliche Anzahl Kinosäle gibt. Beim Debüt von Loews א 0 -Plex in Futurama, so erinnert sich Keeler, enthielt das vorläufige Skript einen Kommentar, dass dieses Kino mit seinen unendlich vielen Kinosälen »immer noch zu klein war, um Rocky mit allen Fortsetzungen gleichzeitig zu zeigen«.
    Das Symbol א 0 ist den meisten Lesern wahrscheinlich unbekannt, denn es gibt ein weiteres Symbol für Unendlichkeit, ∞, das man in der Schule kennenlernt. Doch worin besteht der Unterschied zwischen ∞ und א 0 ? Kurz gesagt ist ∞ ein Symbol für das pauschale Konzept der Unendlichkeit, א 0 hingegen bezeichnet eine bestimmte Art von Unendlichkeit.
    Die Vorstellung von einer »bestimmten Art von Unendlichkeit« klingt widersinnig, vor allem weil die bereits erwähnte Geschichte von Hilberts Hotel zwei eindeutige Schlussfolgerungen aufzeigte:
(1)
unendlich + 1 = unendlich
(2)
unendlich + unendlich = unendlich

    Man könnte leicht den voreiligen Schluss ziehen, dass nichts größer sein kann als die Unendlichkeit und dass alle Unendlichkeiten dieselbe Größe haben. Doch es gibt tatsächlich Unendlichkeiten mit verschiedenen Größen. Der Beweis dafür ist recht einfach.
    Wir gehen von der Menge der Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 aus. Diese Menge enthält einfache Dezimalzahlen wie 0,5, aber auch Zahlen mit viel mehr Nachkommastellen wie 0,736829474638 … Offensichtlich gibt es eine unendliche Anzahl von Dezimalzahlen, weil es für jede Dezimalzahl (z.B. 0,9) eine größere gibt (0,99) und dann eine noch größere (0,999) usw. Doch wie groß ist die Unendlichkeit der Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 im Vergleich zur Unendlichkeit der natürlichen Zahlen 1, 2, 3…? Ist eine Art der Unendlichkeit größer als die andere, oder sind sie beide gleich groß?
    Um herauszufinden, welche der beiden Unendlichkeiten größer ist oder ob es überhaupt einen Unterschied gibt, stelle man sich vor, was passieren würde, wenn man allen natürlichen Zahlen eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1 zuordnen würde. In einem ersten Schritt würde man irgendwie eine Liste aller natürlichen Zahlen aufstellen und eine andere Liste mit allen Dezimalzahlen zwischen 0 und 1. Für diesen speziellen Beweis sei die Liste der natürlichen Zahlen in numerischer Reihenfolge angeordnet. Die Liste der Dezimalzahlen kann jede beliebige Reihenfolge haben. Die Listen werden dann nebeneinander aufgeschrieben, mit einer 1:1-Zuordnung.
Natürliche Zahlen
Dezimalzahlen
1
0,70052…
2
0,15432…
3
0,51348…
4
0,82845…
5
0,15221…

    Wenn man die natürlichen Zahlen und die Dezimalzahlen auf diese Weise zuordnen kann, dann muss es theoretisch gleich viele von beiden geben, und die beiden Unendlichkeiten wären damit gleich groß. Doch eine derartige 1:1-Zuordnung ist nicht möglich.
    Dies stellt sich in der letzten Phase unserer Untersuchung der Unendlichkeit heraus. Dabei bildet man eine Zahl, indem man die erste Ziffer der ersten Dezimalzahl (7) nimmt, die zweite Ziffer der zweiten Dezimalzahl (5) usw. So erhält man die Zahlenfolge 7-5-3-4-1…. Wenn man dann 1 zu jeder Ziffer addiert (0 → 1, 1 → 2, …, 9 → 0), erhält man einen neue Zahlenfolge: 8-6-4-5-2… Zuletzt bildet man mit dieser Zahlenfolge eine Dezimalzahl: 0,86452…
    Diese Zahl, 0,86452…, ist interessant, weil sie in der angeblich vollständigen Liste der Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 nicht vorkommen kann. Das klingt nach einer wilden Behauptung, aber sie ist beweisbar. Die neue Zahl kann nicht die erste Zahl auf der Liste sein, weil bekannt ist, dass die erste Ziffer nicht dieselbe ist. Aus demselben Grund kann sie nicht die zweite Zahl sein, weil bekannt ist, dass die zweite Ziffer nicht dieselbe ist, usw. Allgemein formuliert bedeutet das, dass sie nicht die n -te Zahl sein kann, weil die n -te Ziffer nicht dieselbe ist.
    Mit verschiedenen Variationen dieses Beweises kann man aufzeigen, dass viele weitere Zahlen auf der Liste der Dezimalzahlen fehlen. Mit anderen Worten: Wenn man versucht, die beiden Unendlichkeiten einander zuzuordnen, kann die Liste der Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 niemals vollständig sein, vermutlich weil die Unendlichkeit der Dezimalzahlen größer ist als die Unendlichkeit der