Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

Wie bereits gesehen, rechnen Menschen seit Ewigkeiten mit proportionalen Verhältnissen. Entsprechend viele Methoden haben sie zum Umgang mit ihnen erdacht. Allerdings ähneln sich diese Methoden weitgehend und lassen sich unter dem Überbegriff »Dreisatz« zusammenfassen.
    In China kannte man den Dreisatz bereits im ersten Jahrhundert unserer Zeitrechnung. Indische Texte erwähnen die Methode ab dem 5. Jahrhundert; in den Arbeiten muslimischer Mathematiker kommt sie ab dem 8. Jahrhundert vor, später dann auch in den ersten europäischen Lehrbüchern. Der Dreisatz erfreute sich allgemeiner Beliebtheit, weil sich mit ihm so viele Alltagsprobleme lösen ließen. Im Europa der Renaissance nannte man ihn »die goldene Regel«, der indische Mathematiker Bhaskara II. schrieb, er durchwirke die Welt der Mathematik
ebenso, wie der Gott Vishnu das Universum in zahllosen Manifestationen durchwirke.
    Robert Recorde führt ihn in The Ground of Artes so ein: »Ich werde Sie … die Regel der Proportionen lehren, welche wegen ihrer Vortrefflichkeit ›Goldene Regel‹ genannt wird.« Dann beschreibt er den Dreisatz auf typische Mathelehrer-Art mithilfe mehrerer Beispiele, und hofft, dass der Leser das Prinzip kapiert. Das erste Beispiel lautet wie folgt:
    »Wenn Sie für drei Monate Kost und Logis sechzehn Shilling zahlen, wie viel zahlen Sie dann für acht Monate?«
    Er weist den Leser an, die gegebenen Zahlen so hinzuschreiben:

    Die Zahlen auf der linken Seite müssen zur gleichen Kategorie gehören (in diesem Beispiel Monate), und jede dieser Zahlen ist in ihrer Zeile mit der Angabe verbunden, die zu ihr gehört. In unserem Beispiel wissen wir, dass drei Monate Kost und Logis sechzehn Shilling kosten, und wollen wissen, wie viel acht Monate kosten (deshalb ist an dieser Stelle nichts eingetragen).
    Sind die Zahlen so angeordnet, weist Recorde uns an: »Um die Lösung zu finden, muss ich Folgendes tun: Ich multipliziere links unten mit rechts oben und dividiere das Ergebnis durch die Zahl links oben.« Man nimmt also die 8, folgt der Linie der Abbildung und multipliziert sie mit der Zahl rechts oben, 16. Hat man das errechnet, teilt man durch die Zahl links oben und bekommt die Lösung der Aufgabe. Diese Methode lässt sich auf alle Probleme dieser Art anwenden; solange man die gegebenen Zahlen nur korrekt hinschreibt, kann man der Methode ohne weiteres Nachdenken folgen und gelangt immer zur richtigen Lösung.

    29.
    Ein Zug braucht vier Sekunden, um vollständig in einen Tunnel einzufahren, der zwei Kilometer lang ist. Der Zug fährt 160 Stundenkilometer schnell. Wie lange braucht er insgesamt für die vollständige Durchquerung des Tunnels?
    Aber Sie sollten den Worten Ihres Mathelehrers besser nicht blind vertrauen. Woher wissen Sie, dass solche Methoden nicht ein von der Regierung verbreiteter Trick sind, um die wahren Mietkosten zu verschleiern? Lassen Sie uns daher versuchen, die Logik hinter Recordes Zahlen und Linien aufzudröseln.
    Der Schlüssel zur Lösung dieser Aufgabe liegt darin, herauszufinden, wie viel man für einen Monat Kost und Logis zahlen muss. Weiß man das, kann man die Kosten für jede beliebige Aufenthaltsdauer problemlos errechnen, indem man die Kosten pro Monat mit der Zahl der Monate multipliziert. Tabellarisch dargestellt, sieht das so aus:
    Monate
Shilling
3
16
1
16: 3 = 5⅓
8
8 · 5 ⅓ = 42⅔
    In unserem speziellen Fall ist gefragt, wie viel man für acht Monate bezahlen muss, also multipliziert man mit acht. Sie sehen schon, Sie machen die gleichen Rechenschritte wie Recorde sie für den Dreisatz vorschreibt – allerdings in anderer Reihenfolge: Sie haben die Division (16: 3) vor der Multiplikation durchgeführt [(16: 3) · 8]. Da es auf die Reihenfolge aber nicht ankommt, ist das Ergebnis das selbe.
    Recorde wendet sich rasch schwierigeren Aufgaben zu, die
sich aber alle mit dem gleichen Denkansatz anpacken lassen. Hier ein weiteres Beispiel:
     
    Angenommen, es gebe ein neues Gesetz (zur Förderung des Ackerbaus), wonach jeder Mann, der Schafe hält, für alle zehn Schafe einen Morgen Land pflügen und bepflanzen soll. Als Weidegrund muss er einen Morgen Land für je vier Schafe vorhalten. Nun gibt es einen reichen Schafzüchter, der 7000 Morgen Land besitzt und gern so viele Tiere halten würde, wie nach dem Gesetz erlaubt ist. Meine Frage: Wie viele Tiere darf er halten?
     
    Man könnte die Aufgabe auf vielerlei Wegen lösen, hier wollen wir aber die gleichen Methoden benutzen,