Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

Geld gewechselt haben. Damals wollten Sie 32 Euro, die Sie in der Tasche hatten, wechseln, er bot Ihnen einen Kurs von 1,43 Euro pro Pfund. Sie überschlagen: 30 Euro, geteilt durch 1,5 macht ungefähr 20 Pfund.
    War das großzügig oder konservativ geschätzt? Wenn Sie einen Taschenrechner mitgenommen (statt ihn daheim im Kämmerlein bei den Kontoauszügen liegen zu lassen) hätten, müssten Sie nur eintippen: 32: 1,43. Geschätzt haben Sie 30: 1,5. In Wirklichkeit besitzen Sie mehr Euro, Sie unterschätzen das Ergebnis also tendenziell. Und der Kurs ist nicht 1,5, sondern aus Ihrer Sicht besser: Sie müssen pro Pfund nicht 1,50 Euro bezahlen, sondern nur 1,43. Auch hier bekommen Sie also in Wirklichkeit mehr Pfund, als Ihre Schätzung vermuten lässt. Insgesamt
ist Ihre Schätzung also eindeutig konservativ, Sie müssen auf jeden Fall mehr als 20 Pfund vom Geldwechsler bekommen.
    Angenommen, Sie wollten 37 Euro zum Kurs von 2,21 Euro fürs Pfund wechseln. Für die Überschlagsrechnung runden Sie von 37 auf 40 Pfund auf und den Kurs von 2,21 auf 2 Euro pro Pfund ab. 40 durch 2 geht schnell, Sie halten die Hand auf und erwarten 20 Pfund. Aber Sie haben überschätzt, was Sie in englischer Währung bekommen: Ihren Reichtum haben Sie übertrieben (40 statt 37 Euro), dafür den Wechselkurs zu niedrig angesetzt (Sie müssen für ein Pfund ja nicht nur 2 Euro zahlen, sondern 2,21 Euro.)
    Bei Divisionen gilt: Wenn Sie beide Zahlen auf – bzw. abrunden, ist nicht mehr klar, ob Sie das Ergebnis über- oder unterschätzen. Und wenn Ihnen von all dieser Teilerei schon der Kopf dreht, dann fragen Sie den Geldwechsler doch einfach, wie viele Pfund Sie für einen Euro bekommen und multiplizieren Sie das mit Ihren Euro-Beständen. Das hätte er Ihnen aber wirklich gleich sagen können!
    Sodala. Das war’s. Damit haben wir die See des Grundrechnens mit Zettel und Stift sicher durchquert. Jetzt gibt es in Zukunft keinen Grund mehr, schriftlichen Multiplikationen und Divisionen aus dem Weg zu gehen. Wie für alle guten Tricks gab es auch hier eine rationale Begründung. Wenn man sie Ihnen nur früher verraten hätte …

ZWEITER TEIL
Verschiedene Darstellungsarten für Zahlenverhältnisse

1 Kitkat und koscher
    Nun wird es Zeit, die dunkle Ecke Ihres Mathegedächtnisses zu erforschen, in der Ihr Wissen über Bruch-, Dezimalbruch- und Prozentrechnung langsam verstaubt. Diese drei Themen sind eng miteinander verwandt; es handelt sich um drei verschiedene Maßstäbe, die wir zum Zählen verwenden. Zählt man Schafe, ist ½ Schaf das Gleiche wie 0,5 Schafe oder 50 Prozent eines Schafs. 1 ½ Schafe sind das Gleiche wie 1,5 Schafe oder 150 Prozent eines Schafs. Da es sich bei allen dreien um Skalen handelt, sollten wir uns zuerst ansehen, wie Skalen allgemein funktionieren. Erst danach wenden wir uns den einzelnen Typen zu. Und das führt uns ins Gebiet von Verhältnissen und proportionalen Verhältnissen.
    Verhältnisse beschreiben die Beziehung zweier numerischer Größen miteinander wie im folgenden Beispiel: »Bei Familie Müller ist das Verhältnis von Jungen zu Mädchen 2: 1«. Wir wissen nicht, wie viele Jungen und Mädchen die Familie Müller hat, aber wir wissen, dass es doppelt so viele Jungen wie Mädchen sind. Proportionalität besteht, wenn zwei (oder mehr) veränderliche Größen immer in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Ein typisches Beispiel wäre darüber hinaus der klassische Obstkuchenteig, auch 1-2-3-Teig genannt, weil man dafür Zucker, Butter und Mehl im Mengenverhältnis 1: 2: 3 braucht.

    Sind wir jetzt schon in der Hauswirtschaftslehre, oder hat das noch irgendetwas mit Mathematik zu tun? Natürlich hat das noch mit Mathe zu tun, denn Mr. Barton schafft es, noch aus Familien und Kuchenteigen Aufgaben für seine Schüler zu destillieren. Eine Verhältnisaufgabe wäre etwa: »Die (oben erwähnte) Familie Müller hat vier Jungen. Wie viele Mädchen hat sie?« Charlie reibt sich schon die Hände. Verhältnisaufgaben sind ja babyleicht! Deutlich kniffliger allerdings sind Aufgaben mit proportionalen Verhältnissen – deswegen kommen sie im Matheunterricht auch viel häufiger vor: »Laut Rezept braucht man für 600 Gramm 1-2-3-Teig 200 Gramm Butter. Wie viel Butter benötigt man dann für ein Kilogramm Teig?« Für proportionale Verhältnisse ist es typisch, dass wir das eine verdoppeln müssen, wenn etwas anderes auch verdoppelt wurde. Das ist ähnlich wie beim Geldwechseln. Wenn zehn Dollar sechs Pfund