Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

beliebige Brüche zusammenzählen oder voneinander abziehen. Jeder Lösungsschritt entspricht genau einem der Schritte der Rechenvorschrift, die man mir in der Schule eingebläut hat. Wollen Sie beispielsweise 1/6 von 3/4 abziehen, falten Sie zwei Blätter so, dass sie die entsprechenden Anteile repräsentieren:

    Dann faltet man das erste Blatt waagerecht in Viertel und das zweite waagerecht in Sechstel, wodurch beide Blätter in Vierundzwanzigstel unterteilt wurden. Zwar ist 24 nicht das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6, aber natürlich passen beide Zahlen hinein. Jetzt wissen wir, dass 1/6 gleich 4/24 ist und 3/4 gleich 18/24. Wir haben Zähler und Nenner der Brüche jeweils mit vier respektive sechs multipliziert.

    Um zur Lösung zu gelangen, müssen wir 4/24 von 18/24 abziehen, macht 14/24 oder 7/12. Beide Methoden, die Papierfalt- und meine Schulmethode, funktionieren auch, wenn man im ersten Schritt nicht das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der beiden Brüche verwendet (aber natürlich muss es immer noch ein gemeinsames Vielfaches sein). Verwendet man ein zu großes gemeinsames Vielfaches, heißt das nur, dass man hinterher eine Lösung bekommt, die man noch kürzen kann. Im letzten Beispiel haben wir als gemeinsamen Nenner 24 (statt 12) verwendet – beides Vielfache von 4 und 6) – und haben als Lösung 14/24 erhalten. Das sollte dann aber noch zu 7/12 gekürzt werden, hauptsächlich, weil es sauberer aussieht. Aber natürlich repräsentieren beide Antworten die gleichen Anteile an einem Rechteck. (Hätten wir mit Zettel und Stift gerechnet und beim ersten Schritt die 12 als die Zahl gewählt, in die sowohl 4 als auch 6 glatt passen, hätten wir die Lösung 7/12 direkt erhalten.)

    38.
    Ein Löwe ist in einer 20 Meter tiefen Grube gefangen. Jeden Tag schafft er es, am Rand 1/2 Meter hochzuklettern, doch jede Nacht rutscht er wieder um 1/3 Meter ab. Wie lang braucht der Löwe, bis er aus der Grube fliehen kann?
    Dabei meine ich jetzt nicht, dass Sie zur Papierfalttechnik greifen sollten, wenn Sie im Alltagsleben (was unwahrscheinlich genug ist) je Brüche zu addieren haben. Mit Zettel und Stift geht es sicher schneller. Aber es ist schön zu wissen, dass »die Regeln« einen Sinn ergeben. Die Lösungsschritte sind nicht willkürlich. Es ist nicht wie beim Ententanz, wo Ihnen der Kapellmeister vorn auf der Bühne vorher sagt, wann Sie mit den Fingern schnappen und wann Sie mit dem Bürzel wackeln müssen.

9 Stürzen und multiplizieren
    Doch warum sollten wir nach der Addition von Brüchen schon aufhören? Wie steht es mit der Multiplikation von Brüchen? Das Addieren von Brüchen war ja schon reichlich kompliziert, wie mag es da erst bei Multiplikationen aussehen? Doch überraschenderweise geht das ganz unkompliziert: Man multipliziert die Zahlen oben miteinander und die unten ebenfalls. Hm, das ist ja schon fast verdächtig einfach!
    Wie gehabt, veranschaulicht man sich diese Art Aufgaben am besten mit Rechtecken. »Was ist 1/5 von 1/4?« ist die gleiche Frage wie: »Was ist 1/4 von 1/5?« (Das folgt aus der Natur der Multiplikation. »2 · 3« ist äquivalent zu »2 Dreiern« und »3 · 4« ist äquivalent zu »3 Vierern«. Analog ist »1/5 · 1/4« äquivalent zu »1/5 von einem Viertel« oder »1/5 von 1/4«. 1/4 lässt sich in einem Rechteck wie folgt darstellen:

    Sie wollen aber 1/5 von 1/4, und das würde so aussehen:

    Als Nächstes interessiert Sie, welchen Teil des gesamten Rechtecks dieses Feld darstellt. Um das zu ermitteln, müssen Sie all
die anderen Viertel auch in Fünftel unterteilen, sodass man die gesamte Fläche in gleiche Teile aufgespalten hat. Das sieht so aus:

    Jetzt hat man 4 · 5 gleiche kleine Rechtecke. Die Gesamtzahl der kleinen Rechtecke entspricht immer dem Produkt der Nenner der zwei Brüche. In dieser Aufgabe brauchte man eines der Rechtecke in den Vierteln, und die Antwort lautete 1/20.
    Hätte die Aufgabe nun gelautet 1/5 · 3/4 (oder 1/5 von 3/4), hätten wir sie auf genau die gleiche Weise lösen können, nur hätten wir ein kleines Rechteck aus dreien der Viertel gebraucht und die Lösung hätte gelautet 3/20:

    Hätte die Aufgabe aber 3/5 · 3/4 gelautet, hätten wir mit dem gleichen Diagramm arbeiten können, nur hätten wir aus drei Vieltelspalten jeweils drei Kästchen genommen, was insgesamt 3 · 3 Kästchen oder 9/20 des Ausgangsrechtecks bedeutet hätte. Das hätte so ausgesehen:

    In all diesen Fällen haben wir die Nenner der beiden Brüche