Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

Z nahm diese Zahlen als Ausdruck der Wahrscheinlichkeiten für jedes Pferd, das Rennen zu gewinnen. Diese Annahme ist durchaus berechtigt, solange nur genug Leute wetten, sodass das Gesetz der großen Zahlen greift. Wenn also vor einem Rennen 10 000 Dollar gesetzt wurden und davon 600 auf Likely Lad, dann schätzte Dr. Z die Siegchance dieses Pferdes auf 600/10 000.
    Diese Wahrscheinlichkeit setzte er dann in die Formel zur Berechnung der Chance darauf ein, dass Likely Lad zwar nicht gewinnt, aber auf den vorderen Rängen landet. Stellen Sie sich ein Rennen mit nur drei Pferden vor, »Artful Dodger«, »Likely Lad« und »What a Palaver«. Ihre Gewinnchancen liegen bei 5/10, 3/10 bzw. 2/10. Hier die möglichen Zieleinläufe samt zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm:

    Wie Sie sehen, gibt es sechs verschiedene Zieleinläufe. Beim obersten Zweig im Baumdiagramm gewinnt Artful Dodger vor Likely Lad; What a Palaver wird Dritter. Beim nächsten Zweig laufen die Pferde in dieser Reihenfolge ein: Artful Dodger, What a Palaver, Likely Lad. Und so weiter, und so fort.
    82.
    Sie essen mit zwei Freunden zu Abend. Die Rechnung kommt und beträgt 30 Euro. Sie legen jeweils zehn Euro auf den Tisch und gehen. Erst jetzt merkt der Kellner, dass er Ihnen die Calamari doppelt berechnet hat und die Rechnung eigentlich nur 25 Euro betragen hätte. Er läuft Ihnen nach, entschuldigt sich für seinen Fehler, aber da sich fünf Euro nicht glatt durch drei teilen lassen, gibt er jedem von Ihnen einen Euro und behält die letzten zwei Euro für sich. Sie und Ihre Freunde haben jetzt je neun Euro für das Essen bezahlt, macht insgesamt 27. Der Kellner hat zwei behalten, macht 29. Aber anfangs haben Sie ja 30 Euro bezahlt. Was ist mit dem letzten Euro passiert?
    Schwierig wird jetzt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Pferd als Zweites einläuft, wenn ein anderes
Pferd gewonnen hat. Das ist eine ziemlich knifflige Angelegenheit, aber man kommt ihr ungefähr folgendermaßen bei: Man kennt die Siegchancen für jedes Pferd. Wenn man das gleiche Rennen zehn Mal unter den gleichen Bedingungen veranstaltete, dürfte man erwarten, dass Artful Dodger fünf Mal gewinnt, Likely Lad drei Mal und What a Palaver zwei Mal.
    Angenommen, Artful Dodger gewinnt. Was sind dann die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass Likely Lad beziehungsweise What a Palaver als Zweites einlaufen? Nun wissen Sie aber aus den Gewinnchancen, dass Likely Lad von zehn Rennen drei gewinnt, What a Palaver aber nur zwei. Fassen Sie das Finish um den zweiten Platz nun einfach als eigenes Rennen auf. Sie wissen aus den Siegchancen, dass bei fünf Spurts um Platz zwei hinter Artful Dodger Likely Lad drei Mal und What a Palaver zwei Mal gewinnt. Gewinnt Artful Dodger, stehen die Chancen dafür, dass Likely Lad Zweiter wird, also bei 3/5, und die Chancen dafür, dass What a Palaver Zweiter wird, bei 2/5.
    Für den Fall, dass Likely Lad gewinnt, lässt sich analog argumentieren: Von zehn Rennen gewinnt Artful Dodger fünf und What a Palaver nur zwei. Bei sieben Spurts um den zweiten Platz hinter Likely Lad darf man daher erwarten, dass Artful Dodger fünf Mal gewinnt und What a Palaver zwei Mal. Wenn Likely Lad gewinnt, stehen die Chancen auf den zweiten Platz für Artful Dodger bei 5/7 und für What a Palaver bei 2/7. Als Letztes errechnet man die Wahrscheinlichkeiten für den Fall, dass What a Palaver gewinnt und trägt alles in ein Baumdiagramm ein:

    Da nur drei Pferde mitlaufen, muss What a Palaver Dritter werden, wenn Artful Dodger gewinnt und Likely Lad Zweiter wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen dritten Platz von What a Palaver ist in diesem Szenario schlicht eins. Dies gilt für alle dritten Plätze: Sobald zwei Pferde über die Ziellinie gelaufen sind, muss das nächste Pferd Dritter werden.
    Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Zieleinläufe finden wir nun, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang der Zweige des Baumdiagramms miteinander multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Likely Lad gewinnt, Artful Dodger Zweiter und What a Palaver Dritter wird, beträgt demnach 3/10 · 5/7 · 1 = 15/70. Diese Wahrscheinlichkeiten stehen auch schon am Baumdiagramm, ganz rechts außen.
    Jetzt können Sie Dr. Z endlich bei seinen Berechnungen helfen. Wenn Sie wissen wollen, wie What a Palavers Chancen stehen, bei dem Rennen einen der ersten beiden Plätze zu machen, suchen Sie die Zieleinläufe heraus, die diese Bedingung erfüllen