Mathe ist doof

viele: ein Halb, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel, ein Sechstel,… Diese Brüche allein sind schon „unendlich viele“. Und es sind noch mehr, wenn man im Zähler andere Zahlen als 1 hinzunimmt: zwei Dritte l, drei Viertel, vier Fünftel,…
    Wie war das eben? MEHR als unendlich? Aber es kommt noch schlimmer!
    Man sollte doch annehmen, dass unendlich viele Brüche und noch ein paar mehr dazu ausreichen sollten, jeden Punkt zwischen 0 und 1 zu beschreiben. Dummerweise lässt sich mit Hilfe der Mathematik relativ einfach beweisen, dass das nicht der Fall ist. Die Zahl z, für die z • z = ½ gilt, bezeichnet man bekannterweise als „Wurzel aus ½“. Diese Zahl liegt zwischen 0 und 1. Doch kein einziger der un endlich vielen Brüche hat exakt den Wert von „Wurzel aus ½.“ Eine Kommazahl, die diesen Wert hat, gibt es. Nur leider ist niemand in der Lage, diese aufzuschreiben. 0,7071067811865475244008443621 hört sich ja schon ziemlich genau an – nur, es ist eben nicht genau das Gleiche wie „Wurzel ½“, denn die dazu passende Kommazahl hört nicht nach der 28. Nachkommastelle auf, sie hört nie auf!
    Eine Kommazahl lässt sich grundsätzlich als Summe von ganzen Zahlen und Brüchen schreiben. So ist 3,45 darstellbar als die Summe 3 + 4 Zehntel + 5 Hundertstel. Genau so, wie man sich theoretisch eine unendlich lange Kommazahl vorstellen kann, kann man sich einen unendlich langen Bruch oder zumindest eine unendlich lange Summe einzelner Brüche vorstellen.
    Man kann zwar mit Hilfe von Brüchen diese Zahl „beliebig genau“ beschreiben, das heißt auf 1000, 10 Millionen und noch mehr Nach kommastellen genau, aber eben nicht „ganz“ genau.
    Statt „beliebig genau“ könnte man auch sagen „unendlich genau“. Aber eben nicht genau genug.
    Es gibt zwischen 0 und 1 unendlich viele Brüche und unendlich viele Kommazahlen. Gibt es deshalb auch gleich viele davon?
    Zunächst eine kleine Konkretisierung, was eigentlich gezählt wird. Ein Halb als Kommazahl ist 0,5 oder 0,50 oder 0,500…. Es erscheint sinnvoll, nur 0,5 zu z ählen. Als Bruch kann es sein: 1 / 2 , 2 / 4 , 3 / 6 usw. Auch hier erscheint es sinnvoll, nur den „vollständig gekürzten“ Bruch ( also 1 / 2 ) zu zählen. Demnach gibt es für die genaue Mitte zwischen 0 und 1 eine Kommaza hl (0,5) und eine Bruchzahl ( 1 / 2 ), die gezählt werden.
    Um sich dem Problem der Größe einer unendlich großen Menge anzunähern, hat man den Begriff der „Abzählbarkeit“ erfunden. Die ser Begriff bedeutet freilich nicht, dass man eine „abzählbare“ Menge tatsächlich abzählen kann. Die natürlichen Zahlen sind „ab zählbar“, aber selbst, wenn wir bis zum jüngsten Tag zählen würden, hätten wir noch immer keinen nennenswerten Teil aller natürlichen Zahlen „abgezählt“.
    Ein besserer Ausdruck als „abzählbar“ wäre „nummerierbar“. Eine Menge heißt nämlich dann abzählbar, wenn man jedem Element eindeutig eine natürliche Zahl zuordnen und so sagen kann „das ist das erste Element, das das zweite“ und so weiter.
    Also ist die Menge der ganzen Zahlen Z (einschließlich der negati ven) nicht abzählbar? Doch, und zwar mit einem Trick: Die erste Zahl aus dieser Menge ist Null, die zweite 1, die dritte -1, die vierte 2, die fünfte -2, die sechste 3, die siebte -3 und so weiter. Jede Zahl aus Z hat also so ihre „Nummer“, und damit gilt Z als abzählbare Menge. Das führt zu der interessanten Situation, dass die Menge aller ganzen Zahlen, die außer allen positiven ganzen Zahlen auch alle negativen ganzen Zahlen erhält, aus mathematischer Sicht genau so abzählbar ist wie die Menge der natürlichen Zahlen.
    Betrachten wir die Menge aller positiven Kommazahlen und dieje nige aller positiven Bruchzahlen. Beide sind unendlich.
    Sind beide auch abzählbar?
    Auf den ersten Blick würde man sagen: Nein.
    Der deutsche Mathematiker Georg Cantor, der auch den Begriff „un endlich“ mathematisch beschrieb und von 1848 bis 1918 lebte, ent wickelte ein Schema, mit dessen Hilfe die Bruchzahlen abzählbar sind. Dazu stelle man sich eine nach rechts und nach unten sich wei ter fortsetzende Tabelle vor, die in der oberen Zeile genau wie in der linken Spalte alle natürlichen Zahlen aufweist. In den einzelnen Ta bellenfeldern entstehen nun sämtliche denkbaren Brüche, wenn man die Spaltenzahl als Zähler und die Zeilenzahl als Nenner schreibt:
     
                      1                   2