Mathe ist doof

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Autoren: Thomas Royar

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vielen“ Punkte der Ebene auch „unendlich viele“ „Adressen“.
    Mit Hilfe dieses Systems lässt sich beispielsweise ein bestimmtes Quadrat relativ einfach beschreiben. „Alle Punkte, deren x- und y-Koordinaten zwischen 0 und 2 (einschließlich dieser Zahlen) liegen“ führt dann zu folgender Figur:

                  2

   1

                                 0     1               2

    Hierzu folgende Frage: Kann man dieses Quadrat in zwei exakt (in Form und Größe) gleiche Teile zerlegen?
    Selbstverständlich, werden Sie sagen. Ein Quadrat kann mit einem geraden Schnitt von einer Ecke zur gegenüberliegenden in zwei glei che Dreiecke zerlegt werden und mit einem geraden Schnitt von einer Seitenmitte senkrecht zu dieser Seite in zwei gleiche Recht ecke.
    Betrachten Sie sich jetzt aber noch einmal das obere Bild.
    Sie ahnen, welche Frage jetzt kommt?
    Was passiert bei dieser Zerlegung mit dem Punkt (1|1)?
    Zu welchem Teil gehören generell alle Punkte auf der „Trennlinie“?

    Betrachten wir die Zerlegung des Quadrats in zwei Rechtecke ent lang einer Linie, die parallel zur x-Achse durch den Punkt (0|1) ver läuft.
    Wenn beide Rechtecke gleich viele Punkte haben sollen, so muss es eine Zuordnung geben, die jedem Punkt des einen Rechtecks genau einen Punkt des anderen Rechtecks zuordnet.
    Auf den ersten Blick scheint das möglich:
    Jedem Punkt (a|b) des „unteren“ Rechtecks ordnet man den Punkt (a|b+1) zu, der auf jeden Fall zum „oberen“ Rechteck gehört.
    Doch dann beginnen die Probleme: (1|0) gehört zum „unteren“ Rechteck, (1|1) zum „oberen“ – aber was ist dann mit (1|2)?
    Rechnet man (1|1) dem „unteren“ Rechteck zu, dann hat man den „Partner“ von (1|2) im oberen Rechteck, aber verliert denjenigen von (1|0). Man kann es drehen und wenden wie man will: Ordnet man die Punkte der beiden Rechtecke einander zu, gibt es am Ende kein Punktepaar, zu dem der Punkt (1|1) gehört!
    Doch dieser Punkt gehört eindeutig zu dem Quadrat. Man kann also ein Quadrat in zwei gleiche Teile zerlegen und mathematisch zeigen, dass das gar nicht geht?
    Wie sieht es in der Realität aus? Ein quadratisches Stück Papier kann man in zwei gleiche Teile zerschneiden. Was passiert dabei mit dem „Mittelpunkt“? Wird der etwa zerschnitten? Nun, Papier besteht nicht aus mathematischen Punkten, sondern aus Zellfasern, und diese kann man leicht trennen.
    So leistungsfähig das Modell von Strecke, Ebene und Raum als „Punktmenge“ auch ist, es ist lediglich ein mathematisches Modell und somit weder „perfekt“ noch eine exakte Beschreibung der Wirk lichkeit.
    Die Mathematik erhebt allerdings auch gar nicht den Ansp ruch dar auf, dies zu tun !

19.        Ungleiche Gleichungen

    In Kapitel 10 wurde bereits einiges über das Gleichheitszeichen als Symbol für eine Äquivalenzrelation erläutert. Als solches ist es „symmetrisch“ und „transitiv“. Hinter diesen Begriffen verbergen sich zwei uns ganz selbstverständlich erscheinende Dinge, die sich mathematisch einfach erklären lassen:
    1.       Wenn a = b, dann ist auch b = a (Symmetrie)
    2.       Wenn a = b und b = c, dann ist auch a = c (Transitivität)
    Das alles ist uns sehr geläufig:
    2 + 3 = 1 + 4 und genau so ist 1 + 4 = 2 + 3.
    5 = 2 + 3 und 2 + 3 = 1 + 4; also gilt auch 5 = 1 + 4.
    Heißt „=“ korrekt „gleich“, „ist gleich“, „ist“, „ergibt“, „ist das Glei che wie“ oder noch anders? Hierauf gibt es keine wirklich befriedi gende Antwort, denn „=“ wird im Alltag sehr unterschiedlich ver wendet (und dabei oft mathematisch nicht korrekt) und kann auch innerhalb der Mathematik Unterschiedliches bedeuten (hierzu später mehr).
    Für viele Grundschüler ist „=“ ein Rechenbefehl, der etwa bedeutet „Rechne das aus!“. Diese Kinder reagieren oft recht verzweifelt auf Aufgaben wie 3 +      = 5, denn, so ihr Verständnis, „diese Aufgabe ist doch schon ausgerechnet.“ Dabei gehören solche Aufgaben gleich in den Anfangsunterricht! Zu der Frage „was ist das?“ passt natürlich sehr gut die Antwort „das ist gleich“, und schließlich bedeutet das „=“ auf der Taschenrechnertaste ja tatsächlich „rechne!“.
    „Nur diese Woche! 2 Artikel = 1 Preis!“; „1 Kugel Eis = 1 Euro“; „Geburtstag 24.12. = Sternzeichen Steinbock“ – im Alltag findet man zahlreiche „unmathematische“ Verwendungen des Gleichheits zeichens, bei